【推荐1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．

(1)画出，使与关于原点O成中心对称；
(2)将绕原点O顺时针旋转得到，画出；
(3)连接，过点B作，垂足为点H．（用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法）

【推荐2】为了发展乡村旅游，洪江村准备在洪江河道上修一座与河道垂直的吊桥，如图1所示，直线l、m代表洪江河的两岸，且l∥m，点A是洪江村自助农场的所在地，点B是洪江村游乐园所在地．

问题1：吊桥的选址
吊桥准备选在到A、B两地的距离之和刚好为最小的点C处，即在直线l上找到使（AC+BC）的值为最小的点C的位置．请利用你所学的知识帮助村委会设计选址方案（直接在图1里作图），并简单说明你所设计方案的原理
问题2：河道的宽度
在测量河道的宽度时，施工队在河道南侧的开阔地用以下方法（如图2所示）：①作CD⊥1，与河对岸的直线m相交于D；②在直线m上取E、F两点，使得DE＝EF＝10米；③过点F作m的垂线n；④在直线n上找到一点G，使得点G与C、E两点在同一直线上；⑤测量FG的长度为20米．请问你知道河道的宽度吗？说明理由

【推荐3】如图，中，，AD是的平分线，O是AC的中点，过点A作，交DO延长线于点E．

(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)能否添加一个条件，使四边形ADCE是正方形？若能，请添加条件并证明，若不能，请说明理由．

【推荐1】如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AC的中点，连接BD，过点C作CE平分∠ACB交BD于点E，点F在AB上，且∠ACF＝∠CBD
（1）求证：CF＝BE；
（2）如图②，过点A作AG⊥AB交BD的延长线于点G，
①若DG＝2，求CF；
②设CF交BD于H，求 的值．

【推荐2】我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（2）若改变（1）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．

【推荐3】如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点．

(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)探究证明：
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
若，，绕点A在平面内旋转过程中，请求出的面积取得最大值时的长．

【推荐1】如图，已知平行四边形ABCD，延长到使，连接，，，若．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．

【推荐2】在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A(2，4)，B(4，2)．C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．

(1)点C的坐标是_______，△ABC的面积是_______；
(2)将△ABC绕点C旋转180°得到△A₁B₁C₁，连接AB₁、BA₁，画出四边形AB₁A₁B，并判断四边形AB₁A₁B是何种特殊四边形_______；
(3)请探究：在x轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在平行四边形中，点E、F分别为边、的中点，连接、．

（1）如图1，求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，过点D作，垂足为点G，若，请直接写出图2中所有与相等的线段（不包括）．