1 . 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．

   

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．

2 . 如图，在中，边的中点分别是点，点在边上，点在射线上，且．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，．填空：
当______时，四边形是菱形；
当______时，四边形是矩形．

3 . 如图，在中，，，连接，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为．

(1)分别求和的长度；
(2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由；
(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

4 . 在中，，点D是边上的一个动点，连接．作，，连接．

(1)如图1，当时，求证：；
(2)当四边形是菱形时，
①在图2中画出四边形，并回答：点D的位置为           ．
②若，，则四边形的面积为           ．

5 . 在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，，求证：平分．

6 . 在中，，点是边上不与点重合的一动点，将绕点旋转得到，点的对应点落在直线上，与相交于点，连接．

(1)如图1，当点与点重合时，
①求证：；
②判断与的位置关系是________；
(2)如图2，当点不与点重合，点在边上时，判断与的位置关系，并写出证明过程．

7 . 在中，，点是边上的一点，连接，作，，连接．

(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当是边的中点时，若，，求四边形的面积．

8 . 在矩形中，M，N，P，Q分别为边上的点（不与端点重合），对于任意矩形，下面四个结论中，
①存在无数个四边形是平行四边形；
②存在无数个四边形是矩形；
③存在无数个四边形是菱形；
④至少存在一个四边形是正方形．
所有正确结论的序号是（       ）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

9 . 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在边上，且，．

(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求和的长．

10 . 如图，平行四边形的对角线、交于点，分别过点、作，，连接交于点．

(1)求证：；
(2)当时，判断四边形的形状？并说明理由．