【推荐1】【模型提出】如图，已知线段的长度为，在线段所在直线外有一点，且，想确定满足条件的点的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点为圆心，长为半径画圆，则点在的优弧上.即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.
【模型应用】如图，在正方形中，，点分别是边、上的动点，，连接、，与交于点.

   

(1)求证：；
(2)点从点到点的运动过程中，点经过的路径长为______；
(3)若点是的内心，连接，则线段的最小值为______.

【推荐2】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题．其中，命题4．2的内容是：给定一个三角形，可作圆内接相似三角形．
小冉想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证：

已知：如图1，为已知三角形，如图2，是的切线，为切点，，．
求证：．
小冉在图2的基础上，添加了辅助线；如图3，连接并延长，交于点，连接，．
(1)请在小冉所添辅助线的基础上，求证：；
(2)若，，，求的半径．

【推荐3】如图1，的半径为，的顶点，，在上，．

(1)求证：是的切线；
(2)若也与相切，求证：四边形是菱形；
(3)如图2，与相交于点，连接于，当时，求的对角线的长及阴影部分图形的面积．

【推荐1】如图，内接于，，，的长为，点P是射线上的动点．射线绕点O逆时针旋转得到射线，点Q是射线上的点，点Q与点O不重合，连接，．

(1)求的半径；
(2)当时，在点P运动的过程中，点Q的位置会随之变化，记，是其中任意两个位置，探究直线与的位置关系．