【推荐1】抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点P为抛物线上的动点．
   
(1)求b，c的值；
(2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值；
(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
   
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标．
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
(3)在该运动员入水点的正前方有两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，若该运动员出水点在之间（包括两点），请直接写出的取值范围．

【推荐3】如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点为抛物线上的一个点（且在轴下方），作轴，交轴于点，交抛物线另一点为，使得，求点的坐标.

【推荐1】【问题情境】：如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度()，点、的对应点分别为点、．

   

【问题解决】：
(1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
(2) 若，如图3，得到(此时与重合)，延长交于点，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长；
(3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．

【推荐2】如图，在中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到．
   
(1)线段的长是          ，的度数是         ；
(2)连接，求证：四边形是平行四边形；
(3)求点旋转到点的位置所经过的路线的长．

【推荐3】把绕着点顺时针旋转，得到．
(1)如图1，当点恰好在的延长线上时，若，求的度数．

(2)如图2，当点恰好在的延长线上时，求证：平分．

(3)如图3，连接，如果，连接与的延长线交于点，直接写出的度数（用含的式子表示）．

【推荐1】如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．
   
(1)求顶点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，求面积的最大值；
(4)以为直径，为中点，以为圆心作圆，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．

【推荐3】如图1，抛物线，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A坐标为，点B坐标为，F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于点E．

(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，是否为定值？如果是：请求出这个定值；如果不是，请说明理由．