【推荐1】如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐2】问题情境：数学课上，老师利用两个特殊的四边形进行图形变换操作探究，如图1，正方形和正方形，连接，．

(1)发现：当正方形绕点A旋转，如图2，①线段与之间的数量关系是______；
②直线与直线之间的位置关系是______．
(2)探究：若四边形与四边形都为矩形，矩形绕点A旋转，如图3，且，．请写出直线和直线的位置关系，并说明理由．
(3)应用：在（2）的条件下，连接（点E在上方），矩形绕点A㫌转至，且，，则线段长是多少？（直接写出结论）

【推荐3】如图，以为内接三角形的半中，为直径，切半于点B．
   
(1)作的角平分线，交于点M，交于点N，交于点E，连接．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下．
①求证：；
②若，求的长．