【推荐1】如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧．
   
(1)若，，求的度数；
(2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值

【推荐2】已知点C是线段上一点，在线段的同侧作和，直线和相交于点F，．
   
(1)如图1，若，则__________；
(2)如图2，若，则等于多少（用含α式子表示），并说明理由．
(3)如图3，将图①中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在、中的一条线段上），试探究与α的数量关系，并说明理由．

【推荐3】据图回答下列各题．
【问题：】如图1，在中，，点是边上一点（不与，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的数量关系式为 　　．
【探索：】如图2，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，请探索线段，，之间满足的数量关系，并证明你的结论．
【应用：】如图3，在四边形中，，若，，求的长．

【推荐1】如图，在矩形中，点是的中点，连接，过点作的垂线分别交，于点，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐2】如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AD的延长线于点E．

（1）求证：四边形BECD为平行四边形．
（2）试说明 CE=2AO

【推荐3】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE=OF.求证：AE=CF；

【推荐1】如图点A是直线PQ上一动点，BC⊥PQ，垂足为C，线段AB的垂直平分线DE交∠PCB的平分线于点E，交AB于点D，连接AE，BE．
（1）如图1，AE与BE的数量关系是　 　，过点E作EM⊥PQ于点M，作EN⊥BC于点N，通过证明△AEM≌△BEN，可知AE与BE的位置关系是　 　．
（2）当点A在点C的下方如图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）当点A位于如图3的位置时，过点A作AF∥CB交∠PCB的角平分线于点F，设AC=a，CB=b，请直接写出EF的长（用含有a，b的式子表示）．

【推荐2】如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB=4，AM=1，BN=.

(1)求证:ΔADM∽ΔBMN；
(2)求∠DMN的度数.

【推荐3】综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题
问题情境：
已知正方形中，点是线段的中点，将将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．

特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点，，，得到四边形，求证：四边形是矩形；
（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点落在对角线上时，设与交于点.求证：四边形是正方形．
深入探究：
（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点是线段的三等分点且，在正方形旋转的过程中当线段经过点时，请直接写出的值．

【推荐1】已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE=2cm，AE=1cm，求⊙O的半径．

【推荐2】如图，矩形中，为边的三等分点，连接交于点求

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：

①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点M．交BC于点N；
②再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=8，AD=10，∠ABC=60°，求DP的长．