【推荐2】（1）如图，点为等腰直角内一点（，），判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．
变式：
（2）如图，点为等腰直角外一点（，），，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．
拓展：
（3）如图，，，以为边作等腰，，直接写出的最大值．

【推荐1】在正方形中，点，，分别在边，，上（点，，不与正方形的顶点重合），，相交于点，且．
（1）猜想与的数量关系并证明：
（2）证明：；
（3）若，，请直接写出点到直线的距离．

【推荐2】（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．
（2）问题探究
如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．
（3）问题解决
如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．
   

【推荐3】问题提出

（1）如图①，是等腰三角形，点，分别在腰，上，且，连接，．则与长度的大小关系是_________（填“＞”“＜”或“＝”；）
问题探究
（2）如图②，是的中线，交于，交于，若，，求线段的长；
问题解决
（3）党的二十大报告提出全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，某地区规划出如图③所示的四边形地块，计划开发出一个生态宜居，绿色人文的农业观光区，其中，，，点是上的一个休息站，，是一条林荫小道．为使游客方便参观，现要修建木制栈道与玻璃栈道，点是的中点．已知木制栈道每米的造价是元，玻璃栈道每米的造价是元，请问修建玻璃栈道的总费用是修建木制栈道总费用的几倍？并说明理由．

【推荐3】如图，在中，AD是中线，于点E，交AD于点O，F是AC的中点，连接EF，DE，DF．

(1)若，求的度数；
(2)求证：直线DF垂直平分CE；
(3)若，用含有a，b的代数式表示的周长．

【推荐3】【课本再现】

   

(1)正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．
(2)【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，．
①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，当点与点重合时，求的长．