【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，是以为斜边的等腰直角三角形（点A、B、P顺时针方向排列）．

(1)当点A与点O重合时，得到等腰直角（此时点P与点C重合），则______．当时，点P的坐标是______；
(2)设动点A的坐标为．
①点A在移动过程中，作轴于M，于N，求证：四边形是正方形；
②用含t的代数式表示点P的坐标为：（______，______）；
(3)在上述条件中，过点A作y轴的平行线交的延长线于点Q，如图2，是否存在这样的点A，使得的面积是的面积的3倍？若存在，请求出A的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在矩形中，是上一点，，于点．

   

(1)求证：；
(2)若，，求矩形的面积．

【推荐3】学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．只保留作图痕迹

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
．
①＿＿＿②
垂直平分，
＿＿＿＿③
又＿＿＿＿④＿＿＿⑤
．
．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点＿＿＿⑥

【推荐1】（1）问题发现：如图，在和中，，，，连接，交于点，且交于点E
①的值为______；
②的度数为______；
（2）类比探究：如图，在和中，，，连接，交的延长线于点，且交于点请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸：如图，在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出点与点重合时的长．

【推荐2】如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底藏线，弦是水位线，米，于点E，此时测得．

(1)求的长；
(2)如图，阴影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面图，若其长为10米，高为2米，当点E恰在中点时，
①画出半圆O最高点H，并直接写出点H到线段的距离；
②若该箱子随水面上升1米，请判断此木箱能否通过该桥洞．并说明理由．

【推荐3】如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．

【推荐1】如图，在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（1，0），B（4，2），C（2，4）．

(1)将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△，请在图中画出平移后△，则C的对应点的坐标为____________．
(2)线段可以看成是线段BA绕着某个定点旋转180°后得到的图形，这个定点的坐标是_____．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是△ABC内一点，连结AD，将线段AD绕点A逆时针旋转一定角度得到线段AE使∠BAD=∠CAE（E在AC右侧），连结BD，CE．

（1）求证：BD=CE；
（2）若AD=2，求点D绕点A旋转到点E所经过的路径长．

【推荐3】已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点、对应点分别为、，且点、、在同一条直线上，连接．

(1)求的度数；
(2)若，，求．