【推荐1】已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P，G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DF=PG；
②若AB=3，PC=1，求四边形PEFD 的面积；
（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD   是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

【推荐2】如图1，和都是等腰三角形，，，与分别交于点和交于点G，连接．
   
(1)若，求的度数；
(2)如图2，连接求证：垂直平分．
   

【推荐3】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
      
(1)㩧作猜想
操作一：对折正方形纸片、使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：继续沿折叠，使点D落在正方形内部点G处，把纸片展平，连接、；
根据以上操作：在图2中写出一个与相等的角______．
(2)探究证明
①如图3，延长与边交于点，连接，则与的大小关系是______；线段、、之间的数量关系是______；
②判断点在上的位置、并说明理由．
(3)拓展延伸
如图4，若正方形的边长为，直接写出点到线段的距离．

【推荐1】已知P是△ABC内任意一点（如图）．
（1）求证：（a+b+c）＜PA+PB+PC＜a+b+c；
（2）若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB+PC＜2．

【推荐2】如图，边长为8的等边三角形中，D，E分别是边的中点，点P从B点沿着折线运动，连接绕点A逆时针旋转60°到点Q．
   
(1)如图1，当点P在上运动时，求的度数；
(2)如图2，连接，设P点的运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，请求出的面积S关于t的函数关系式；并指出t的取值范围；
(3)当是直角三角形时，直接写出此时的长．

【推荐1】在平面直角坐标系中，点为原点，点的坐标为．如图1，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在第二象限．现将正方形绕点顺时针旋转角得到正方形．
   
(1)如图2，若，，求直线的函数表达式．
(2)若为锐角，当取得最小值时，求正方形的面积．
(3)当正方形的顶点落在轴上时，直线与直线相交于点，的其中两边之比能否为？若能，求点的坐标；若不能，试说明理由．

【推荐2】（1）问题：如图在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_______，位置关系是_______．
（2）探索：如图，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长．

【推荐3】如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC的等腰直角三角形，摆动臂可绕点A旋转，同时摆动臂可以绕点D旋转，已知，，，．

(1)直接写出的长______；
(2)在旋转过程中，当以A，D，M为顶点的三角形为直角三角形时，直接写出的长_____；
(3)如图2，把摆动臂顺时针旋转至，连接．
①当，时，求的长．
②当B，D，E三点在同一直线上时，直接写出的长_____．