【推荐1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E时线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出的面积最大面积及此时E点的坐标．

【推荐2】如图，抛物线（）交直线：于点，点两点，且过点，连接，.
   
（1）求此抛物线的表达式与顶点坐标；
（2）点是第四象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交于点.设点的横坐标为，试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为l与x轴交于点D．

(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若点M是直线l上的动点，当是以为直角边的直角三角形时，求点M的坐标．
(3)若点P是y轴左侧抛物线上的动点，设其横坐标为m．试探究：是否存在这样的点P，使得．如存在，请直接写出m的值，如不存在，请说明理由．

【推荐1】某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资. 已知生产每件产品的成本是40元，在销售过程中发现：当销售单价定为120元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为（元），年销售量为（万件），年获利为（万元）。（年获利＝年销售额—生产成本—投资）
（1）试写出与之间的函数关系式；
（2）请通过计算说明，到第一年年底，当取最大值时，销售单价定为多少？此时公司是盈利了还是亏损了？

【推荐2】如图1，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段上一动点（）．以点A为圆心，长为半径作交x轴于另一点D，交线段于点E，连接并延长交于点F．
   
(1)求直线l的函数表达式和的值；
(2)如图2，连接，当时，
①求证：；
②求点E的坐标；
(3)当点C在线段上运动时，求的最大值．

【推荐3】如图，已知抛物线与轴交于点(点在点的左侧)，与轴交于．

求点的坐标；
若点是抛物线在第二象限部分上的一动点，其横坐标为求为何值时，图中阴影部分面积最小，并写出此时点的坐标．

【推荐1】如图，的顶点A、B分别在x轴，y轴上，，且的面积为8．
直接写出A、B两点的坐标；
过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C．
若是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；
将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标．
   

【推荐2】在平面直角坐标系中，函数的图象记为，函数的图象记为，其中为常数．图象，合起来得到的图象记为．
（1）当时，
①点在图象上，求的值；
②求图象与轴的交点坐标；
（2）当图象的最低点到轴距离为时，求的值；
（3）已知线段的两个端点坐标分别为，，当图象与线段有两个交点时，直接写出的取值范围．

【推荐3】定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．

(1)①点的“坐标差”为            ；
②抛物线的“特征值”为            ；
(2)某二次函数的“特征值”为，且，求此二次函数的解析式；
(3)二次函数的图像的顶点在“坐标差”为的一次函数的图像上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，当二次函数的图像与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．