数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知
中，
，
，
，点
为平面内不与点
、
重合的任意一点，将线段
绕点顺时针旋转
，得线段
，
、
分别是
、
的中点，设直线
与直线
相交所成的较小角为
，探究
的值和的度数与
、
、
的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
(1)填空：
【问题发现】
小明研究了
时，如图1，求出了__________，
__________；
小红研究了
时，如图2，求出了__________，__________；
【类比探究】
他们又共同研究了
时，如图3，也求出了；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：
__________（用含、的式子表示）；__________（用含的式子表示）．
(2)求出时的值和的度数．
如图，已知
中，，，，点为平面内不与点、重合的任意一点，将线段绕点顺时针旋转，得线段，、分别是、的中点，设直线与直线相交所成的较小角为，探究的值和的度数与、、的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：(1)填空：
【问题发现】
小明研究了
时，如图1，求出了__________，__________；小红研究了
时，如图2，求出了__________，__________；【类比探究】
他们又共同研究了
时，如图3，也求出了；【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：
__________（用含、的式子表示）；__________（用含的式子表示）．(2)求出
时的值和的度数．
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更新时间：2023-02-07 11:40:47
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真题
【推荐1】数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有
角的三角尺放在正方形
中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边
，
始终与正方形的边
，
所在直线分别相交于点
，
，连接
，可得
．
绕点C逆时针旋转
得到
，同时得到点
在直线上．求证：
；
【探究二】在图②中，连接
，分别交，于点，．求证：
；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接
交于点
，求
的值．
角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．
绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接
，分别交，于点，．求证：；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线
与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．
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【推荐2】如图，是
的直径，弦
于点，为
上一点，
，连接
分别交，于点
，．
(1)求证：
；
(2)若
，且
，求
的长．
是的直径，弦于点，为上一点，，连接分别交，于点，．(1)求证：
；(2)若
，且，求的长．
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的图象与y轴交于C点，交x轴于点A（-2，0），B（6，0），P是该函数在第一象限内图象上的动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC，AC．
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【推荐1】如图，在平行四边形ABCD中，点G是线段AB上一点，连接CG、DG，满足CG＝CD．
(1)如图1，过点G作GH⊥CD于点H，若AB＝8，GH＝2
，求DG；
(2)如图2，若∠DAB＝60°，∠DAB的角平分线交CD于点E，过点E作EF∥AD，满足EF+AG＝AD，连接DF、CF，求证：∠DCF＝∠GCF．
拓展：如图，正方形ABCD的边长为4
，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，直接写出CG的最小值.
(1)如图1，过点G作GH⊥CD于点H，若AB＝8，GH＝2
，求DG；(2)如图2，若∠DAB＝60°，∠DAB的角平分线交CD于点E，过点E作EF∥AD，满足EF+AG＝AD，连接DF、CF，求证：∠DCF＝∠GCF．
拓展：如图，正方形ABCD的边长为4
，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，直接写出CG的最小值.
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名校
【推荐2】如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(2)现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出∠2＝ °（结果用含n的代数式表示）；
②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的
倍，求n的值．
(3)若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜180时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线平行？如果存在，请直接写出所有n的值；如果不存在，请说明理由．
(2)现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出∠2＝ °（结果用含n的代数式表示）；
②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的
倍，求n的值．(3)若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜180时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线平行？如果存在，请直接写出所有n的值；如果不存在，请说明理由．
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是有公共顶点的等腰直角三角形，
，点P为射线
的交点．
，求证：
且
．
，把
时，求
的长；
长的最小值是_______．
