【推荐1】聪明好学的亮亮看到一课外书上有个重要补充：
【角平分线定理】三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．于是他就和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：
“已知：如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：”
可是他们依然找不到证明的方法，于是，老师提示：过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，于是得到△BDE∽△CDA，从而打开思路．
（Ⅰ）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮亮亮完成证明．
（Ⅱ）利用角平分线定理解决如下问题：
如图2，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F，AB＝7，AC＝15，求AF的长．
   

【推荐2】如图，已知，是等边三角形，CE是的外角∠ACM的平分线，点D为射线BC上一点，且∠ADE＝∠ABC，DE与CE相交于点E．
（1）如图1，如果点D在边BC上，求证：AD＝DE；
（2）如图2，如果点D在边BC的延长线上，那么（1）中的结论“AD＝DE”还成立吗？请说明理由；
（3）如果的边长为4，且∠DAC＝30°，请直接写出线段BD的长度．（无需写出解题过程）

【推荐3】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，

①请你猜想写出FE与FD之间的数量关系，不用说明理由；
②判断∠AFC与∠B的数量关系，请说明理由.
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其他条件不变，请问你在（1）中所得FE与FD之间的数量关系是否依然成立？请说明理由.

【推荐1】如图，已知直线l₁∥l₂，且l₃与l₁，l₂分别交于A，B两点，l₄与l₁，l₂相交于C，D两点，点P在直线AB上．

（1）【探究1】如图1，当点P在A，B两点间滑动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？并说明理由；
（2）【应用】如图2，A点在B处北偏东32°方向，A点在C处的北偏西56°方向，应用探究1的结论求出∠BAC的度数．
（3）【探究2】如果点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的关系，并说明理由．

【推荐2】已知，直线交于点．

(1)如图1所示，点在线段上，设，且满足，则______，______；______．
(2)如图2所示，点在线段上，平分，交的延长线于点，试找出之间的数量关系，并证明；
(3)如图3所示，点在射线上运动时，的角平分线与的角平分线交于点，求的值．

【推荐3】如图1，已知，，；

（1）请探索与之间满足的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．