【推荐1】如图，与的边分别交于点，连接点在上，且．

（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若求的直径．

【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，点E是上一点，∠DAC=∠AED．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的值．

【推荐1】（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝12，则AB的长度为　 ；

（2）如图②，⊙O的半径为16，弦AB＝16，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值；
（3）如图③，在△ABC中AB＝AC＝8，∠CAB＝120°，D是BC的中点，E是平面内一点，且ED＝2，连接BE，将EB绕点E逆时针旋转120°，得到EB′，连接CB′、BB′，四边形ABB′C的面积是否存在最大值，若存在，求出四边ABB′C的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在梯形中，，，且，，．点E从点B出发沿方向运动，过点E作交边于点F．将沿所在的直线折叠得到，直线、分别交于点M、N，当过点D时，点E即停止运动．设，与梯形的重叠部分的面积为y．

(1)证明是等腰三角形；
(2)当过点D时，如图（3），求x的值；
(3)将y表示成x的函数，并求y的最大值．

【推荐3】如图，已知等边△ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
   
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．

【推荐1】（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．

【推荐2】某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

【问题发现】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD，垂足为E．求证：BE＝DE+AD．
【问题探究】小明同学的思路是：如图2，在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF．……请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．
【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD，过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝，则△BCD的周长为　 　．
【变式探究】如图4，若将【问题发现】中“点C为的中点”改为“点C为优弧的中点”，其他条件不变，上述结论“BE＝DE+AD”还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出BE、AD、DE之间的新等量关系，并加以证明．

【推荐3】（1）问题提出：
如图①，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是CB，AB的中点，点F是BD的中点，若AB＝8，AC＝6，则EF＝　 　；

（2）问题探究：
如图②，已知：M是弓形AB上的中点，AB＝24，弓形AB的高是8，则对应⊙O的面积为多少？（结果保留根号或π）
（3）问题解决：
如图③，在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，点A为优弧BC上的动点，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E．AD和BE交于点P，连接PC，试求△PBC面积的最大值．