【推荐3】如图：已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点P是边边上一动点，联结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．

(1)当P坐标为时，求G点坐标，和直线的解析式．
(2)过G作交于H，若；，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)联结并延长与线段交于点M，当时以为腰的等腰三角形时求P点坐标．

【推荐1】如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标为，过点．与轴、轴分别交于、两点，为弧的中点．连接并延长交轴于点，连接并延长，使得，连接．
   
(1)求点的坐标，连接、，四边形的形状是             ；
(2)点从点出发以每秒2个长度单位的速度沿折线段运动，同时点也从点出发以相同的速度沿射线运动，当点到达点两点同时停止，设运动时间为．的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，若点在线段上运动且，直接写出直线与相交所得的弦长．

【推荐3】如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边．
   
(1)如图1，在中．按如下做法：
①作的中垂线：
②作的角平分线与中垂线交于点；
③连接并延长与交于点，得到．
若按上述作法，得到的是倍角三角形．则与的等量关系___________；
(2)如图2，在矩形中，以为底边做一个倍角三角形顶点恰好落在边上．若，．求的长度．
(3)如图3，现有一块梯形板材，，，，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，使得点在梯形的边上，为以为底边且的倍角三角形．是否存在满足要求的？若存在，请确定点位置（求出的长）；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，已知，正方形的边长为4，点是边上一点，点P，Q分别在边和上，且．
   
(1)如图1，若点E是中点．
①当点P和点A重合时，画出图形，求的长，并说明理由．
②设，．请探究m，n之间的关系．
(2)如图2，，连接，若，，求的长．
(3)如图3，若点E是中点，连接．请直接写出所有情形下的最小值．

【推荐3】问题背最   如图（1），与为等边三角形，连接交于点，请直接写出线段与的数量关系为______，______；
尝试应用　　如图（2），与为等腰直角三角形，，为中点，连接，取的中点，连接，判断的关系，并证明；
拓展创新   如图（3），在矩形中，点为上一点，点为上一点，，连接，取的中点，连接，请直接写出的值是______．