【推荐3】如图1，在中，，，．半圆的直径为，在初始位置时，圆心与点重合，为半圆上的点．且．

   

(1)求证：；
(2)如图2，将半圆绕点逆时针旋转（旋转角度不超过），当半圆恰好与的边相切时，求点运动的路径长；
(3)当半圆旋转至如图3所示的位置时，与直线交于点，，且，求的值．

【推荐1】问题背景
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理．
芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；
第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至的位置，得到折痕MN，与AB交于点P．
则点P为AB的三等分点，即．
问题解决
如图1，若正方形ABCD的边长是2．

(1)CM的长为______；
(2)请通过计算AP的长度，说明点P是AB的三等分点．
类比探究
(3)将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点P也为AB的三等分点，请直接写出的值．

【推荐2】四边形是边长为4的正方形，点E沿A→D→C路线向C点运动，连接，在的右侧以为腰作等腰直角三角形，，交射线于点N．

(1)如图1，点E在上时，交于点M，若，请直接写出：
①点F到直线的距离；
②的长；
(2)如图2，点E在上时，
①若，求的长；
②连接，请直接写出的最小值．

【推荐1】如图，已知是等边三角形，P是内部的一点，连接BP，CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作，，连接DP，求的度数；
（2）如图2，E是BC边上一点，且，当时，连接EP并延长，交AC于点F．若，求证：；
（3）如图3，M是AC边上一点，当时，连接MP．若，，，的面积为，的面积为，求的值（用含a的代数式表示）．