【推荐1】如图，是的外接圆，且，点M是的中点，作交的延长线于点N，连接交于点D．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．

【推荐2】如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC于点P、D．
（1）求证：AP＝AD；
（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．

【推荐3】如图，是的直径，点C，D是上的两点，且，求证：．

【推荐1】如图，点为外一点．

(1)过点作两条切线、（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
(2)证明：平分．

【推荐2】如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．

（1）求证：BD＝BE；
（2）若DE＝2，BD＝2，求AE的长．

【推荐3】如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，请用无刻度直尺完成下列作图．

(1)如图1，以点C或点B为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余（并标记）．
(2)如图2，已知交⊙O于点D，过点A作AE将∠BAC平分．

【推荐1】某数学社团遇到这样一个题目如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO∶CO=1∶3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，如图②，过点B作BDAC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD 就可以解决问题．

(1)请写出求AB长的过程．
(2)如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC=∠ACB=75°，BO∶OD=1∶3．若AO=，求AB的长．

【推荐2】如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠A＝30°，O为线段AC上一点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆恰好经过点B，与AC的另一个交点为D．
（1）求证：AB是圆O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．

【推荐3】如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形）靠墙摆放，高，宽.小强身高，下半身，洗漱时下半身与地面成（），身体前倾成（），脚与洗漱台距离（点在同一直线上）.

（1）此时小强头部点与地面相距多少？
（2）小强希望他的头部恰好在洗漱盆中点的正上方，他应向前或后退多少？
（，结果精确到）