【推荐1】如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于C点，设抛物线的顶点为D．过点D作轴，垂足为E．P为线段DE上一动点，为x轴上一点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)①当点P与点D重合时，求m的值；②在①的条件下，将△COF绕原点按逆时针方向旋转90°并平移，得到，点C，O，F的对应点分别是点，，，若的两个顶点恰好落在抛物线上，求点的坐标；
(3)当点P在线段DE上运动时，直接写出m的最大值和最小值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点．
   
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)已知点D是直线上方的抛物线上一动点．
①当点D运动到什么位置时，四边形的面积最大？求此时D点的坐标和四边形的最大面积；
②连接，并把沿CO翻折，得到四边形，那么是否存在点D，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知抛物线于经过点，并与x轴交于另一点B，交y轴于点C，其对称轴为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线BC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点D，交直线BC于点E，当取最大值时，求点P的坐标；
(3)已知点M为抛物线对称轴l上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得点M与点N关于直线BC对称，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？

【推荐2】在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，G为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度的最大值．

【推荐1】如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，直线交于点A，D，直线与交于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若是线段上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线点G，交直线于点H．
①抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在y轴上是否存在点N，使四边形的周长最小，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
②当点F在直线上方的抛物线上时，时，求m的值．

【推荐2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)．与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点．
①当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
②若BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．

【推荐1】如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
   
(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．

（1）求抛物线的解析式；
（2）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC，∠CBE=β,求的值.