【推荐1】如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接

(1)求证：
(2)若是的中点，求的值．
(3)若，求的值．

【推荐2】综合与实践：
动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1，是等腰直角三角形，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．
思考探索：（1）在图1中：的面积为        ；
拓展延伸：（2）如图2，若为任意直角三角形，．将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．猜想三条线段、、的数量关系，并证明．
（3）如图3，在中，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接．若点D是的边的高线上的一动点，连接、，则的最小值是        ．

【推荐3】如图，和均为等边三角形，且点，在同一直线上，连结，交和分别于点，连结．

   

(1)请说出的理由；
(2)试说出的理由；
(3)试猜想是什么特殊的三角形，并加以证明．

【推荐1】如图，在矩形ABCD中，点M在AB或AD边上，点N在BC边上，沿直线MN折叠矩形，点B落在点E处.
（1）如图①，当点M，E都在AD上时，连接BM，求证:四边形MBNE是菱形；
   
（2）如图，，，，当点M在AB上，点E在AD上时，求MN的长；
   
（3）我们定义：一条对角线是另一条对角线的二倍的四边形是“倍长四边形”.如图，点M在AD上，连接BE交CD于点P，若，求证：四边形BMPN是“倍长四边形”.
   

【推荐2】在四边形中，点，分别是边，上的点，连接、并延长，分别交，的延长线于点、，连接．

(1)如图1，若四边形是正方形，，求证：；
(2)如图2，若四边形是菱形，，，，求的长；
(3)如图3，若四边形是矩形，，，，求．

【推荐3】如图1， 矩形中，点在上，连接，作分别交于于．
（1）若求的长；

（2）如图2，取的中点，连接交于，若
②求证：
②求证：

【推荐1】如图，在边长为4cm的等边△ABC中，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s，点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们的运动时间为（s）．
（1）当为何值时，PQ⊥AC；
（2）当时，求证：AD平分△PQD的面积；
（3）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的的取值范围．（不要求写出过程）．

【推荐2】如图，在等边中，．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边向终点B运动，过点P作于点D，过点P向上作，且，以、为边作矩形．设点P的运动时间为x（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为y．

（1）用含x的式子表示线段的长；
（2）求出当点F落在边上时x的值；
（3）求在运动过程中y与x之间的函数关系式．

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，AD="4" cm，∠A=60°，BD⊥AD． 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD ．

（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动． 过Q作直线QN，使QN∥PM． 设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm²．
① 求S关于t的函数关系式；
② 求S的最大值．