【推荐1】如图，过，两点的直线与直线交于点C．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；直线l分别交线段BC，OC于点D，E，交x轴于点P，以DE为边向左侧作等腰△DEF，其中FD＝FE，，直线l的运动时间为t（秒）．

(1)直接写出C点坐标和t的取值范围；
(2)求DE的长（用含t的代数式表示）；
(3)当0＜t＜2时，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），请直接写出S与t的函数关系式；
(4)是否存在这样的点P，使得以P，O，F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－4x与直线y＝4相交于点A，点P（a，b）为直线y＝4上一动点，作直线OP．
（1）当点P在运动过程中，若△AOP 的面积为8，求直线OP的解析式；
（2）若点P在运动过程中，若∠AOP＝45°，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是直线OP上一动点，且位于x轴上方，连接MA．设点M的横坐标为m，记△MAO的面积为S，求S与m的函数关系式．
   

【推荐2】二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．

（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使得BM与NC相互垂直平分？若存在，求出所有满足条件的N点的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，且．
       
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接，交轴于点，点在线段上，连接、，，若面积为，求与的函数关系式（不写自变量取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在第三象限的抛物线上，连接，过点作的平行线，交轴于点交轴于点，、在线段上，，，，求点的坐标．

【推荐2】抛物线l₁：y＝x²+bx+c与它的对称轴x＝﹣2交于点A，且经过点B（0，﹣2）．

（1）求抛物线l₁的解析式；
（2）如图1，直线y＝kx+2k﹣8（k＜0）与抛物线l₁交于点E，F，若△AEF的面积为，求k的值；
（3）如图2，将抛物线l₁向下平移n（n＞0）个单位长度得到抛物线l₂，抛物线l₂与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线l₂于另一点D；抛物线l₂的对称轴与x轴的交于点M，P为线段OC上一点，若△POM与△PCD相似，并且符合该条件的点P有且只有2个，求n的值及相应点P的坐标．

【推荐3】如图，二次函数y＝ax²+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D，在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，将△BPF沿边PF翻折，得到△B′PF，使△B′PF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的，若点B′在OD上方，求线段PD的长度；
(3)在（2）的条件下，过B′作B′H⊥PF于H，点Q在OD下方的抛物线上，连接AQ与B′H交于点M，点G在线段AM上，使∠HPN+∠DAQ＝135°，延长PG交AD于N．若AN+B′M＝，求点Q的坐标．

【推荐2】定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数的图像位于直线左侧部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图像，我们称函数的函数是函数的相关函数，函数的图像记作，函数的图像未翻折的部分记作，图像和合起来记作图像．例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为．

(1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为        ．
(2)函数的解析式为，当时，图像上某点的纵坐标为，求该点的横坐标．
(3)已知函数的解析式为，
①已知点、的坐标分别为、，图像与线段只有一个公共点时，结合函数图像，求的取值范围；
②若点是图像上任意一点，当时，的最小值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）．

【推荐3】定义：规定max（a，b）＝，例如：max（﹣1，2）＝2，max（3，3）＝3．
感知：已知函数y＝max（x+1，﹣2x+4）
（1）当x＝3时，y＝_____；
（2）当y＝3时，x＝______；
（3）当y随x的增大而增大时，x的取值范围为______；
（4）当﹣1≤x≤4时，y的取值范围为______；
探究：已知函数y＝max（x+2，）当直线y＝m（m为常数）与函数y＝max（x+2，）（﹣6＜x≤3）的图象有两个公共点时，m的取值范围为_______；
拓展：已知函数y＝max（﹣x²+2nx，﹣nx）（n为常数且n≠0），当n﹣3≤x≤2时，随着x的增大，函数值y先减小后增大，直接写出n的取值范围．