【推荐1】已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使BD=DE．求证：CD=CE.

【推荐2】如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，求△ABC的边长．

【推荐3】已知，等边的边长等于．动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．

(1)如图，设点的运动时间为，那么为何值时，是直角三角形；
(2)若另一动点从点出发，沿射线方向运动．连接交于．如果动点都以的速度同时出发．
①设运动时间为，那么为何值时，是等腰三角形？
②连接，猜想：在点的运动过程中，和的面积有什么关系？并说明理由．

【推荐1】综合与实践：
(1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接

①的度数为______；（直接写出）
②线段之间的数量关系为______（直接写出）
(2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接
①的度数为______；（直接写出）
②证明：线段之间的数量关系；（详细过程）
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程）

【推荐2】如图1，在等腰中，，分别延长AO、BO至点C、点D，使得、，连接AD、BC．
如图1，求证：；
如图2，分别取边AD、CO、BO的中点E、F、H，猜想的形状，并说明理由．

【推荐3】如图，在四边形中，，，，为的中点，连接，．

(1)求证：四边形为菱形．
(2)连接，若，，求的长．

【推荐1】如图，已知矩形．

(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点分别在边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）
(2)若，求菱形的周长．

【推荐2】如图1，将一张矩形纸片沿直线折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线交于点M，交于点N．

(1)若，则__________；
(2)如图2，连接．求证：四边形为菱形；
(3)若的面积与的面积比为，，求的长．

【推荐3】如图，在平行四边形中，点分别在上，与相交于点，且．

(1)求证：；
(2)连接．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）

【推荐1】如图，等腰，，将沿翻折至，延长交于点．

(1)求证：；
(2)若是直角三角形时，探索线段与的数量关系．

【推荐2】如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

【推荐3】我校九年级“卓越数学”兴趣小组，“双减”之后，开展多项减负提质实践课，周末他们用所学到的知识测量附近一幢楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离被建筑护坡遮挡，不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量．已知楼房AB前有一斜坡CD，它的坡度．他们先在坡面D处测量楼房顶部A的仰角，接着沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房的方向继续行走至E处，再次测量楼房顶部A的仰角，并测量了C、E之间的距离，最后测量了坡面C、D之间的距离．为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（测角仪高度忽略不计），如下表:

项目	内容
课题	测量学校附近楼房的高度
测量示意图			说明:测点D、E与点C、B都在同一水平面上
测量数据	测量项目	第一次		第二次	平均值
	仰角∠ADM的度数	30.1°		29.9°	30°
	仰角的度数	59.9°		60.1°	60°
	C、E之间的距离	5.1米		4.9米	5米
	C、D之间的距离	11.8米		12.2米	？
…	…

(1)任务一：两次测量C，D之间的距离的平均值是______米；
(2)任务二：请你帮助“卓越数学”小组根据上表中的测量数据，求出该楼房AB的高．（结果精确到0.1米．参考数据:，）