【推荐1】在边长为2的等边中，点D是中点，点E在线段上
   
(1)如图1，的最小值为　 　；
(2)在的下方作等边，连接，如图2，求出的度数；如果变化；
(3)在图2的基础上，连接，如图3，当的周长最小时，求的度数．

【推荐2】如图1，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为BD上一动点，在点E的运动过程中，始终保持EFAB，EF＝AB，连接DF，CF，CF与BD相交于点O．

（1）如图1，求证四边形CDFE为平行四边形；
（2）当点E运动到什么位置时，四边形CDFE为矩形？并说明理由；
（3）如图2，延长DA到M，使AM＝AD，连接ME，判断ME与CF的数量关系，并说明理由．

【推荐1】如图①，和均为等边三角形、连接，．

(1)直接写出与的数量关系为________________；直线与所夹锐角为______________度；
(2)将绕点A逆时针旋转至如图②，取，的中点M，N，连接，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；
(3)若，，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，直接写出的面积为_______________．

【推荐2】如图1，在和中，，，，点，，在同一条直线上，连结．
   
(1)【问题解决】求证：．
(2)若，求的度数．
(3)【类比探究】如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为的中点，连结，，，，求的长．

【推荐3】在中，，，记，点为射线上的动点，连接，将射线绕点顺时针旋转角后得到射线，过点作的垂线，与射线交于点，点关于点的对称点为，连接．

图1                                          图2

(1)当为等边三角形时，
①依题意补全图1；
②的长为_________；
(2)如图2，当，且时，求证：．

【推荐1】某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图、图、图中，、是的中线，于点，像这样的三角形均称为“中垂三角形”．
   
【特例探究】
(1)如图，当，时，______，______；
如图，当，时，______，______；
【归纳证明】
(2)请你观察（）中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你的结论．
【拓展证明】
(3)如图，在中，，，、、分别是边、、的中点，连结并延长至，使得，连结，当于点时，求的长．

【推荐2】如图，平面直角坐标系、两点分别在x、y轴上，P为射线上的一动点，点O关于直线的对称点为．

(1)当的面积为15时，求点P坐标；
(2)当为等腰三角形时，求点P坐标；
(3)若点O关于直线的对称点为点D，当为直角三角形时，请求出点P坐标．

【推荐3】如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，

（1）求∠EAF的度数；

（2）在图①中，连结BD分别交AE、AF于点M、N，将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，连结MH，得到图②．求证：MN²＝MB²＋ ND² ；

（3）在图②中，若AG＝12， BM＝，直接写出MN的值．

【推荐1】在平面直角坐标系中，为原点，点，点.若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为.

（Ⅰ）如图①，当时，求与的交点的坐标；
（Ⅱ）如图②，当时，求点的坐标；
（Ⅲ）若为线段的中点，求长的取值范围（直接写出结果即可)．

【推荐2】问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图，和都是等腰直角三角形，，点分别在边上，连接，点分别为的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系．

问题探究：
（）甲小组发现：图中，线段与的数量关系是     ，位置关系是      ；
（）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点逆时针方向旋转到如图的位置，请判断的形状并证明；
问题拓展：
（）两小组的同学继续探究：把 绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出线段长度的最大值．

【推荐3】如图，在中，，，，E、D分别是的中点，连接．Q从点E出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点Q停止运动时，点P也停止运动。连接，设运动时间为ts．答下列问题：

(1)请直接用含t的代数式表示的长；
(2)当t为何值时，以点D、P、Q为顶点的三角形与相似？
(3)当t为何值时，为等腰三角形（直接写出）