【推荐2】如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，α．

   

(1)若α，求的值；
(2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含α的代数式表示）；
(3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若α，，则的值是______．

【推荐3】如图1，将三角板如图放置，∠AOC=60°．将另一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=45°．

(1)将图1中的三角尺MON绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角尺MON绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第＿＿＿＿秒时，直线MN恰好与直线OC垂直；在第＿＿秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；
(3)将图1中的三角尺MON绕点O顺时针旋转使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
(4)通过操作我们发现，将图1中三角形AOC绕点O顺时针旋转一定角度α（0<α<180°）时，三角形AOC会被直线AB或ON分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等，请直接写出所有符合条件的旋转角度α．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，．
　 　　   　
(1)求a的值；
(2)如图2，点P在第二象限的抛物线上，横坐标为t，连接BP交y于点D，连接AD，△ABD的面积为s，求s与t之间的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点Q在第三象限的抛物线上，横坐标为m，点R在第一象限的抛物线上，横坐标为，连接QR，交x轴于点，过Q点作于点G．过点R作于点H，且．求点D的坐标．

【推荐3】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．

【推荐2】如图，正方形中，，对角线 与交于点O，点P为对角线上一个动点，作射线交正方形的边于点F，过点D作 垂足为点Q，交直线于点M，交正方形的一边于点E．

(1)如图1，当点P在线段 上时，线段 与线段的数量关系为         ．
(2)如图2，当点P在线段上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)当四边形的面积与的面积比为时，直接写出线段的长．

【推荐1】如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，其中，，，连接，点M是分的中点，连接，．

(1)若点D在边上，如图1，试探究，之间的关系，并说明理由；
(2)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新结论并证明；
(3)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图3，，，求的长．

【推荐2】如图，点是轴正半轴上的动点，点坐标为，是线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线与直线相交于点，点是点关于直线的对称点，连接，，，设点的横坐标为．

(1)当时，求的长；
(2)①当为何值时，点落在线段上；
②设的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)如图，当点与点重合时，将沿轴左右平移得到，再将为顶点的四边形沿剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的点的坐标．

【推荐3】定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
【概念感知】
（1）如图1，在中，，，，试判断是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

【问题探究】
（2）如图2，是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是的重心，求的值．
【拓展提升】
（3）如图3，，且直线与之间的距离为3，“准黄金”的“金底”BC在直线上，点A在直线上．，若是钝角，将绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点D．
①当时，则_________；
②如图4，当点B落在直线上时，求的值．