【推荐1】（1）问题发现
如图1，四边形为矩形，，，点在矩形的对角线上，的两条直角边、分别交、于点、，当，时，__________（用含、的代数式表示）；
（2）拓展探究
在（1）中，固定点，使绕点旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证明；
（3）问题解决
如图3，四边形为正方形，，点在对角线上，、分别在、上，，当时（是正实数），直接写出四边形的面积是__________（用含，的代数式表示）．
   

【推荐2】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F，连接．

(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)如图①，若，，求的长．
(3)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．

【推荐1】综合探究
已知的两边分别与相切于点，，的半径为．

(1)如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；
(2)如图2，点在上运动，当线段经过圆心时，的大小满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若线段与的另一个交点为点，的半径．
①求图中阴影部分的周长；
②连接，为边上的一点，且，延长交于点，求的长．

【推荐3】已知在矩形中，，，与对角线相切．
（1）如图1，求的半径；
（2）如图2，点是上一个动点，连接，，交于点，若，求的度数和弧的长；
（3）如图，对角线与交于点，点是上一个动点，设点到直线的距离为，当时，请直接写出度数的取值范围．
        

【推荐1】如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接.

（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）如图2，若点是的内心，，求的长.

【推荐3】同学们还记得吗？图①是我们研究过的湘教版八年级上册教材P99第16题“已知，如图在等腰三角形中，，是的中点，点、分别在、上求证：”的图形；图②是我们研究过的湘教版九年级上册教材第2题“如图，，，是的中点．已知，，求的长．”的图形，受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
   
(1)【问题一】受图①启发，兴趣小组画出了图③，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图④：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图⑤：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．

【推荐1】如图，在ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O经过点B，与BC交于另一点D，与AB交于另一点E，作DF⊥AC，连接EF．
（1）求证：DF与⊙O相切；
（2）若EF与⊙O相切，AC＝7，DF＝4．
①求证：四边形ODCF为平行四边形；
②求⊙O的半径．

【推荐2】如图，以为直径的与相切于点，点在左侧圆弧上，弦交于点，连接，，点关于的对称点为，直线交于点，交于点．

(1)求证：；
(2)当点在上，连接交于点，若，求的值；
(3)当点在射线上，，四边形中有一组对边平行时，求的长．

【推荐3】如图，AD是⊙O的直径，弧BA＝弧BC，BD交AC于点E，点F在DB的延长线上，且∠BAF＝∠C．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：△ABE∽△DBA；
（3）若BD＝8，BE＝6，求AB的长．