【推荐1】已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象交于点和点，与x轴交于点，与轴交于点．

(1)求反比例函数的表达式及的值；
(2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点．
①请求出点的坐标；
②将线段绕点B旋转，在旋转过程中，求线段的最大值．

【推荐2】已知：中，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转与相等的度数得到，连接．

               

(1)如图1，当，时，求的长：
(2)如图2，当时，连接，再将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接．求证：；
(3)如图3，当，时，点是平面内任意一点，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，点是边上另一动点，当最小值时，直接写出的最小值．

【推荐3】已知：，，，可绕点旋转，设旋转过程中延长线与相交于点.

（1）如图①所示，当点在边上时，请直接写出线段和线段之间的数量关系；
（2）将由图①的位置旋转到图②的位置时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；
（3）如图③，若，设点为的中点，连接，将绕点旋转一周，直接写出的最大值与最小值.

【推荐1】如图1，在弧MN和弦MN所组成的图形中，P是弦MN上一动点，过点P作弦MN的垂线，交弧MN于点Q，连接MQ．已知MN＝6cm，设M、P两点间的距离为x cm，P、Q两点间的距离为y₁cm，M、Q两点间的距离为y₂cm．
小轩根据学习函数的经验，分别对函数y₁，y₂随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	0	2.24	2.83	3.00	2.83	2.24	0
y2/cm	0	2.45	3.46	4.24	4.90	m	6

上表中m的值为            ．（保留两位小数）
（2）在同一平面直角坐标系xOy（图2）中，函数y₁的图象如图，请你描出补全后的表中y₂各组数值所对应的点（x，y₂），并画出函数y₂的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△MPQ有一个角是60°时，MP的长度约为         ．（保留两位小数）

【推荐2】已知二次函数的图像经过点P（0，）、A（5，0）、B（1，0）．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）点C在该二次函数的图像上，当△ABC的面积为12时，求点C坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ABC外接圆圆心点D的坐标．

【推荐3】如图1，抛物线y＝mx²﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧）．与y轴交点C，与直线l：y＝x+1交于D、E两点，
（1）当m＝1时，连接BC，求∠OBC的度数；
（2）在（1）的条件下，连接DB、EB，是否存在抛物线在第四象限上一点P，使得S_△DBE＝S_△DPE？若存在，求出此时P点坐标及PB的长度；若不存在，请说明理由；
（3）若以DE为直径的圆恰好与x轴相切，求此时m的值．

【推荐1】如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O₁的弦，过B点作⊙O₁的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．
（1）求证：PD²=PE•PF；
（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S_△DEF．

【推荐2】对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，），顶点C、D在x轴上，且OC=OD.
（1）当⊙P的半径为4时，
①在P₁（，），P₂（，），P₃（，）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是                ；
②如果点P在直线上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；
（2）已知点P在轴上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围.

【推荐3】在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．
（1）如图1，△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的外接圆的半径为        ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，请利用以上操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P，点P满足；∠BPC=∠BEC，且PB=PC；（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）
（3）如图3，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为             ．