【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与一次函数（为常数）交于，两点，其中点坐标为．
   
(1)求点坐标；
(2)点为直线上方抛物线上一点，连接、，当时，求点的坐标；
(3)将抛物线（为常数）沿射线平移个单位，平移后的抛物线与原拋物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点且为对角线的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知抛物线过点，，．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形的最大面积；
（3）若点在轴上，点为该抛物线的顶点，且，求点的坐标．

【推荐1】综合与实践
【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会徽是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．
“弦图”在三国时期被赵爽发明，是证明______的几何方法（填序号）．
①勾股定理　②完全平方公式　③平方差公式

【动手操作】
如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形的面积为______；
【问题探究】
兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，为正方形内一点，满足，将绕点顺时针旋转，得到．
（1）连接，若点为的中点，则四边形为______（填形状）；
【问题解决】
（2）若的延长线交于点，连接，点分别为的中点，请仅就图④的情形解决下列问题：
①请判断和的数量关系，并说明理由；
②若，求的长．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上，且点D的坐标为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PC、PD，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，作轴于点E，点F在线段OC上，，线段BF和CE交于点G，当，求点P的坐标，并求此时的面积．

【推荐3】如图1,在矩形的边上存在点,使得,我们称点为矩形的“和谐点
(1)求证: ;

(2)如图2,矩形的顶点的坐标为为坐标原点,点分别在轴和轴上,在边上是否存在“和谐点”，如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由

(3)在(2)中,如果点的坐标为,且在上存在“和谐点”求的取值范围

【推荐1】如图①，与都是等腰直角三角形，，且点D在边上，、的中点均为O，连结、、，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明，则．

(1)将图①中的绕点O旋转得到图②，猜想此时线段与的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图③，若与都是等边三角形，、的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出与之间的数量关系；
(3)如图④，若与都是等腰三角形，、的中点均为O，且顶角，请直接写出的值（用含的式子表示出来）．

【推荐2】如图，在中，，，．点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒3个单位、4个单位，同时点从点出发沿→→方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒4个单位、5个单位．当、、不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）．

(1)_________．
(2)求的长度（用含的代数式表示）．
(3)当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值．
(4)作四边形的对角线，当与某边平行时，直接写出的值．

【推荐1】如图，抛物线经过点A（﹣3，0），点C（0，4），作CD∥x轴交抛物线于点D，作DE⊥x轴，垂足为E，动点M从点E出发在线段EA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时动点N从点A出发在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设△DMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)①当MN∥DE时，直接写出t的值；
②在点M和点N运动过程中，是否存在某一时刻，使MN⊥AD？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，二次函数、的图像分别为、，交轴于点，点在上，且位于轴右侧，直线与在轴左侧的交点为．
   
（1）若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值；
（2）设直线与轴所夹的角为．
①当，且为的顶点时，求的值；
②若，试说明：当、、各自取不同的值时，的值不变；
（3）若，试判断点是否为的顶点？请说明理由．

【推荐3】如图1，抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点，且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)动点在线段下方的抛物线上．
①连接、，过点作轴的垂线，垂足为，交于点．过点作，垂足为．设点的横坐标为，线段的长为，用含的代数式表示；
②过点作，垂足为，连接．是否存在点，使得中的一个角恰好等于的2倍?如果存在，求出点的横坐标；如果不存在，请说明理由．