【推荐2】已知一次函数和反比例函数为．

(1)如图1，若函数、的图像都经过点，．
①求，，的值；
②连接，，判断的形状，并说明理由；
③当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围；
(2)当，，过点作轴的垂线，交一次函数的图像于点，交反比例函数的图像于点，取与的绝对值较小的纵坐标（若二者相等则任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形．直线与图形的交点分别为、，若的值等于3，求的值．

【推荐3】如图，在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，且点D落在的延长线上，过点D作于点E，延长交于点F．
   
(1)依题意补全图形．求证：；
(2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

【推荐1】综合与探究
等边三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，都在坐标轴上，点为线段上一动点，点为轴下方一点，且，，连接，．

(1)如图1，求证：．
(2)如图2，当点在轴上，且点的坐标为，时，求点的坐标．
(3)若点的坐标为，直接写出在点的运动过程中，的最小值．

【推荐2】在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
(1)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（1）所示．则CF的长为     ．（直接写出结果，不说明理由）

(2)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．

思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形
∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°
∴①∠ABE+       =∠CBF+       ；
∴∠ABE=∠CBF
∴△ABE≌△CBF
∴∠BAE=∠BCF=60°
又∠ABC=60°
∴∠BCF=∠ABC
∴②______∥______；
当点E在点A处时，点F与点C重合．
当点E在点C处时，CF=CA．
∴③点F所经过的路径长为       ．
(3)△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．

(4)正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为        ．（直接写出结果，不说明理由）

【推荐3】如图1，在△ABC中，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD=CE，连接BD，AE相交于点F．
（1）当∠ABC=∠C=60°时，，那么；（直接写出结论）
（2）当△ABC为等边三角形，时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=30°，AC=，点E在BC上，点D是AE的中点，当∠EDC=30°时，CE和DE的数量关系为．（直接写出结论，不必证明）

【推荐1】如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F．

(1)探究线段与的数量关系，并说明理由；
(2)当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由；
(3)当点在边上运动时，四边形_______________是菱形填“可能”或“不可能”，请说明理由．

【推荐2】如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC上一动点，过P作PMAB交AF于M，作PNCD交DE于N.

(1)求出的度数，并证明；
(2)如图②，点是的中点，连接、，求证：；
(3)如图③，点O是AD的中点，OG平分，求证：四边形OMGN是菱形.

【推荐3】在中，的平分线交于点，交的延长线于点，分别过点，作，．
       
(1)如图，求证：四边形是菱形；
(2)如图，当点是的中点时，连接．若，求的长；
(3)如图，当是矩形时，连接，交于点，连接．若，，求的长．

【推荐1】抛物线经过点和，与x轴交于另一点B．

（1）则抛物线的解析式为_______；
（2）点P为第四象限内抛物线上的点，连接，，，设点P的横坐标为．
①如图1，当时，求的值；
②如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，过点C作的垂线，与射线交于点E，与x轴交于点F．连接，当时，求m的值．

【推荐2】如图，在矩形中，点，分别为边和上的点，且满足，与相交于点，且恰为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，点到的距离为，直接写出的长为_______．

【推荐3】等腰中，，作的外接圆⊙O.
（1）如图1，点为上一点（不与A、B重合），连接AD、CD、AO，记与的交点为.
①设，若，请用含与的式子表示；
②当时，若，求的长；
（2）如图2，点为上一点（不与B、C重合），当BC=AB，AP=8时，设，求为何值时，有最大值？并请直接写出此时⊙O的半径．