【推荐1】已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，，，与的面积之和为S.

   

(1)填空：当，，时，
①如图①，若，，则________，________；
②如图②，若，，则________，________；
(2)如图③，当时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由.

【推荐2】如图，在中，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．

(1)求证：；
(2)当t取何值时，与全等．

【推荐3】如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上.在边OB上取一点E，使得PE=PD.
（1）用圆规作出所有符合条件的点E；
（2）写出∠OEP与∠ODP的数量关系，并加以证明.

【推荐1】如图，中，，，．将沿方向向右平移得到．若阴影部分平行四边形的面积为8，求的长．

【推荐2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝8，BD＝6，求平行四边形ACDE的面积．

【推荐3】如图，矩形 ABCD 中，AB  4, BC  10, E 在 AD 上，连接 BE, CE, 过点 A 作 AG // CE ，分别交 BC, BE 于点 G, F , 连接 DG 交 CE 于点 H .若 AE  2, 求证：四边形 EFGH 是矩形.

【推荐1】【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103-104页的部分内容．

如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，恰好是的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：．

【定理证明】（1）小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
【定理应用】（2）如图②，在中，，垂足为点，是边的中线，垂直平分，则，则为________度．
【拓展提高】（3）如图③，在中，，，恰好是中线，则的度数为________度．

【推荐2】如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．

【推荐3】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6，过点B作⊙O的切线BM，以点M为圆心，BM的长为半径画弧，交⊙O于点C（不与B点重合），连接AC并延长，交BM的延长线于点D．

(1)求证：MC是⊙O的切线．
(2)填空：①当MC＝　 　时，四边形BOCM是正方形；
②当MC＝　 　时，三角形CDM是等边三角形．

【推荐2】如图，在△ABC中，AB＝AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E

（1）求证：PD＝PE；
（2）DE与BC平行吗？请说明理由；
（3）请添加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．