【推荐1】如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C．

(1)求C点的坐标；
(2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标；
(3)如图2所示，点为第二象限内一动点，经过H的两条直线与分别与抛物线均有唯一的公共点E和F（点E在点F的左侧），直线与y轴交于点G，M为线段的中点，连接、，当时，求h的值．

【推荐3】抛物线经过，点A坐标为，点B是抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求抛物线解析式并求顶点坐标．
(2)当A在抛物线上时，求m的值．
(3)当时，设抛物线与x轴右侧的交点为点P，点B和点P之间（包括B、P）的最高点和最低点纵坐标之差为，求点A的坐标．
(4)点，连结为边构建平行四边形，当的面积被x轴分成两部分时，求m的值．

【推荐1】（1）问题背景：小伟遇到一个这样问题，如图1，两条相等的线段交于点O，，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题，
证明：过点C作且使、连接．
∴四边形为平行四边形，则_______；
∵，
∴_____．
又∵，
∴为等边三角形，
∴______．
∴，即
请完成证明中的三个填空，并参考小伟同学思考的方法，解决下列问题：
（2）类比话用．如图2，与相交于点O，，求线段的长（请直接写出答案）
（3）联系拓展：如图3，的三条中线分别为，若的面积为8，则以的长度为三边长的三角形的面积等于________（请直接写出答案）

   

【推荐1】已知顶点为的抛物线过点和．
(1)求点的坐标；
(2)直线与拋物线相交于不同的两点，（在的左侧），
①若，直线与轴相交于，连接，求证：轴；
②过点作不平行轴的直线，且与拋物线有且只有一个公共点．记点为与轴的交点；点为与轴的交点，求线段长度的最小值．（用含的式子表示）

【推荐2】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与y轴交点的坐标为．

(1)求此抛物线对应的函数表达式．
(2)①当时，y的取值范围是______．

②若时，，则m的取值范围是______．

(3)当时，若函数的图像上有且只有一个点到直线的距离为1，求m的取值范围．
(4)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的右侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为．将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图像G．设图像G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．

【推荐3】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交与两点，与轴正半轴交于点，且A∶

(1)求此抛物线的解析式∶
(2)如图1，作矩形，使过点，点是边上的一动点，连接，作交于点．设线段的长为，线段的长为，当点运动时，求与的函数关系式并写出自变量的取值范围．在同一直角坐标系中，试函数的图象与（1）DE的抛物线中的部分有何关系？
(3)如图2，在（1）的抛物线中，点其顶点，为抛物线上一动点(不与重合)，取点，作且(点M，N，L按逆时针顺序)当点L在抛物线上运动时，直线是否存在某种确定的位置关系？若存在写出你的证明结论；若不存在，请说明理由．