【推荐3】如图，BE是⊙O的直径，点A，C，D，F都在⊙O上，，连接CE，M是CE的中点，延长DE到点G，使得EG=DE，并且交AF的延长线于点G，此时F恰为AG的中点．

(1)若∠CDE=120°，CE=4，求⊙O的周长．
(2)求证：2FE=CE．
(3)试探索：在上是否存在一点N，使得四边形NMEF是轴对称图形，并说明理由．

【推荐1】如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA²＝PB²+PC²则称点P为△ABC关于点A的勾股点．
（1）如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC关于点　 　的勾股点；在点E、F、G三点中只有点　 　是△ABC关于点A的勾股点．
（2）如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，
①求证：CE＝CD；
②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度数．
（3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，
①若△ADE是等腰三角形，求AE的长；
②直接写出AE+BE的最小值．

【推荐2】已知：如图，是的直径，弦垂直平分，为垂足，是上一点，，的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）计算，的度数．
（3）连接，若是半圆的中点，且的半径为，求三角形的面积．（用含的代数式表示）
   

【推荐3】（1）如图1，△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°．请用直角三角尺（仅可画直角或直线）在图中画出一个点P，使得∠APB=45°；
   
（2）如图2，△ABC 中，AB=a，∠ACB=，请用直尺和圆规作出一个点Q，使点Q与点C在AB同侧，QA=QB，∠AQB=；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）如图3，若 AC=BC=，∠ACB=90°，以点A为原点，直线AB 为 x 轴，过点A垂直于AB的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，直线y= - x+b(b>0)交 x 轴于点M，交 y 轴于点N．当点P在直线MN上，且∠APB=45°，求点P的个数及对应的b的取值范围；
   
（4）如图4，△ABC 中，AB=a，∠ACB=，请用直尺和圆规作出点P，使得∠APB=且AP+BP最大，请简要说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）

【推荐1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC²＝2CD•OE；
（3）若，求OE的长．

【推荐1】已知点(4，0)、(﹣2，3)为二次函数图象抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点M(m，﹣1)，点A、B为抛物线上不重合的两点（B在A的左侧），且直线MA与抛物线仅有一个公共点．
①如图1，当点M在y轴上时，过点A、B分别作AP⊥y轴于点P，BQ⊥x轴于点Q．若与相似，求直线AB的解析式；
②如图2，当直线MB与抛物线也只有一个公共点时，记A、B两点的横坐标分别为a、b．当点M在y轴上时，直接写出的值为　　；当点M不在y轴上时，求证：为一个定值，并求出这个值．

【推荐2】已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．

(1)当△ABC为直角三角形时，求△ABC的面积．
(2)如图，当APBC时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求BQ的长；
(3)当以点A，B，P为顶点的三角形和△ABC相似时（不包括两个三角形全等），求m的值．

【推荐3】如图，抛物线与轴交于、两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．
（1）求点的坐标与抛物线的表达式：
（2）连接，，设四边形的面积为．
①求与的关系式；
②当最大时；求点的坐标：
（3）若点是对称轴上一点，当时，求的值．