【推荐1】【探究发现】
（1）如图①，在等边三角形内部有一点P，若．求证：．
请将下列证明过程补充完整：
证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接，
∴__________，
∴，_______，
又∵，∴是等边三角形（_______）
∴，，
又∵，∴，
在中，
___________，即．
【类比延伸】
（2）如图②，在中，，，三角形内部有一点P，若．
求证：
（提示：将绕A点逆时针旋转90°，得到，连接）
【联想拓展】
（3）如图③，在中，，，点P在直线上方，且，满足（其中）．
将绕A点顺时针旋转__________°，得到，连接，过点A作，垂足为H，则_________．

【推荐2】如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．

(1)如果∠BAE＝40°，那么∠B＝______°，∠C＝______°；
(2)如果△ABC的周长为23cm，AC＝9cm，求△ABE的周长；
(3)你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明．

【推荐1】如图，是的直径，切于点，交于点，连接.

（1）若，求的度数；
（2）若，且，求的直径.

【推荐3】如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，与相交于点，是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点．

（Ⅰ）若，证：；
（Ⅱ）若，，求：的度数．

【推荐1】如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，．

(1)与有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若，求的长．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．

(1)若与关于原点成中心对称，在图中画出，点的坐标为            ．
(2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，在图中画出，点的坐标为            ．
(3)求出（2）中点经过的路径长．

【推荐3】如图，O为半圆的圆心，直径，于点D，．

(1)求弧的长；
(2)求图中阴影部分的面积．

【推荐1】如图，将正方形中的绕点B顺时针旋转到的位置，且，．

(1)求的长；
(2)连接，若，求的度数．

【推荐2】【探究】如图，P是等边三角形内的一点，连接，以为边作，且，连接．

(1)直接写出与之间的关系．
(2)若，，，连接，判断的形状，并说明理由．
(3)【应用】如图，P是等腰直角三角形内的一点，，，且，，，求的大小．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于点C，△ABC是边长为3的等边三角形，且AB边在x轴额正半轴上，cos∠COA=．
（1）求k，m的值；
（2）点P在射线OC上，且OP=5，动点Q从点P出发先沿着适当的路径运动到线段AB中垂线上的点M处，再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止，当点Q的运动路径最短时，求N点坐标及点Q运动的最短路程；
（3）将△ABC绕点A进行旋转，在旋转过程中，设BC所在直线与射线OC相交于点R，与x轴正半轴交于点T，当△ORT为等腰三角形时，求OT的长．