【推荐1】阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直横型”，当横型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．

       
(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，， 于 E，于点D，求证：；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，于 E，，求 的长；
(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，若是等腰直角三角形，直接写出B点坐标．

【推荐2】在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆形容器的壁厚了．
（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；
（2）求出圆形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示）

【推荐3】如图，在中，高线相交于点且．

（1）与的数量关系是_              ；
（2）试说明：；
（3）点是直线上的一点且动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，问是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并直接写出符合条件的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF.
(1)如图1，连接AC交BF于点G，求证：∠AGF＝∠AEB＋45°；
(2)如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC＝45°，求证：AH＋BH＝BM；
(3)如图3，在(2)的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD，DM，若HE＝1，求△BDM的面积．

【推荐2】如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．求证：CF与⊙O相切．

【推荐3】如图，在正方形中，点是边上任意一点（点不与点、重合），连接，点关于的对称点为，连接并延长交的延长线于点，是的中点，连接．

(1)【猜想】如图①，的大小为　　度．
(2)【探究】如图②，过点作交的延长线于点，连接．求证：．
(3)【拓展】如图③，连接，若正方形的边长为2，则面积的最大值为　　．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．

(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC＝BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．

【推荐2】已知：如图，为⊙O的直径，，交于点D，交于点E，．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐3】如图，已知是半径为2的直径，C是圆上一点，D是延长线上一点，过点D的直线交于E点，且为等边三角形．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的长度；
（3）若，求证：．

【推荐1】如图，为直径，C，D为上的两点，且，交的延长线于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．

【推荐2】如图，以O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点，延长AB至点D，连接DC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB＝∠DAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝6，tan∠DCB＝，求AE的长．

【推荐3】如图，中，，于，于，，相交于点，以为圆心、为半径的交于点、，已知，．

(1)求证：是的切线；
(2)求的半径；
(3)求弦的长．