请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务.
数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题：已知矩形
，利用尺规作一个菱形，使菱形的四个顶点在矩形的边上.
勤奋组的方法为：如图1，做线段
的垂直平分线，交
于点
，做
的垂直平分线，分别交
于点
，顺次连接
，则四边形
是菱形.
善思小组分享的方法是：如图2，分别以
为圆心，长为半径作弧，交于点
，连接
，则点
与点
重合，点
于点
重合时，四边形是特殊的菱形.
任务：
(1)证明勤奋组的作法正确；
(2)分别在图3和图4的平行四边形中用不同于材料中的方法作菱形，要求尺规作图，保留作图痕迹，顶点在原四边形的边上．
数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题：已知矩形
，利用尺规作一个菱形，使菱形的四个顶点在矩形的边上.勤奋组的方法为：如图1，做线段
的垂直平分线，交于点，做的垂直平分线，分别交于点，顺次连接，则四边形是菱形. 善思小组分享的方法是：如图2，分别以
为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则点与点重合，点于点重合时，四边形是特殊的菱形.任务：
(1)证明勤奋组的作法正确；
(2)分别在图3和图4的平行四边形中用不同于材料中的方法作菱形，要求尺规作图，保留作图痕迹，顶点在原四边形的边上．
更新时间：2023-06-22 11:53:11
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【推荐1】同学们，你听过凯叔的《口袋神探》故事吗？这个故事讲的是一个聪明的男孩艾小坡，与因意外误入地球的外星人鸡飞飞，结成侦探联盟，通过思考、调查、研究和推理，破解身边一系列神秘案件的精彩故事．一天，艾小坡获得了一张“藏宝图”，你能根据“藏宝图”上的信息和艾小坡一起确定“宝藏”的位置吗？不幸地告诉你，大家手中只有圆规和无刻度的直尺哦……
(1)在正北方向上，作线段
，使
；
(2)记
，作南偏东
方向线
；
(3)射线
与方向线交点为
，点即为“宝藏”位置；请聪明的你利用仅有的工具帮我们准确找出“宝藏”位置点（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在正北方向上，作线段
，使；(2)记
，作南偏东方向线；(3)射线
与方向线交点为，点即为“宝藏”位置；请聪明的你利用仅有的工具帮我们准确找出“宝藏”位置点（保留作图痕迹，不写作法）
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【推荐2】在边长为1的正方形网格图中，点B的坐标为(2，0)，点A的坐标为(0，－3)．
（1）在图1中，请建立合适的坐标系，把线段AB绕原点旋转180°得线段DE（其中A与D是对应点），则四边形ABDE是 形，面积等于 ．
（2）在图2中，仅使用无刻度的直尺，作出以AB为边的矩形ABFG，使其面积为11（保留作图痕迹，不写做法）
（1）在图1中，请建立合适的坐标系，把线段AB绕原点旋转180°得线段DE（其中A与D是对应点），则四边形ABDE是 形，面积等于 ．
（2）在图2中，仅使用无刻度的直尺，作出以AB为边的矩形ABFG，使其面积为11（保留作图痕迹，不写做法）
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中，
，以点
，以点
的一个根吗？并说明理由.
，求
的值.
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【推荐1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，M、N分别在边AC、BC上，OM⊥ON，连MN，AC＝4，BC＝8．设AM＝a，BN＝b，MN＝c
(1)求证：a2＋b2＝c2
(2)①若a＝1，求b；② 探究a与b之间的函数关系式；
(3)△CMN的面积等于△ABC的面积
时，求b．
(1)求证：a2＋b2＝c2
(2)①若a＝1，求b；② 探究a与b之间的函数关系式；
(3)△CMN的面积等于△ABC的面积
时，求b．
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【推荐2】如图，在矩形ABCD中，EH垂直平分BD，交BD于点M，过BD上一点F作FG∥BE，FG恰好平分∠EFD，FG与EH交于点N．
（1）求证：DE•DG=DF•BF；
（2）若AB=3，AD=9，求FN的长．
（1）求证：DE•DG=DF•BF；
（2）若AB=3，AD=9，求FN的长．
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都是等腰三角形，
，
，
分别交于点
，
，连接
，
，求
的度数；
交于点
，求证：
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【推荐1】【问题探究】
(1)如图①，点A、B在直线
的两侧，在直线上找一点P，使得
最小；
(2)如图②，在
中，点P是内一点，且
．把
绕点B顺时针旋转60°得到
，求证此时
的和最小．
(3)如图③是某高新开发区的一个准备建造成公园的地块
，已知
米，
米，
米，
米，
．为了美观，要在边
下方取一点Q，且点Q必须满足
，现在要在五边形地块内部修一个游客服务中心P，并且使得游客服务中心P到点B、C、Q的距离和最小，请求出
的最小值．
(1)如图①，点A、B在直线
的两侧，在直线上找一点P，使得最小；(2)如图②，在
中，点P是内一点，且．把绕点B顺时针旋转60°得到，求证此时的和最小．(3)如图③是某高新开发区的一个准备建造成公园的地块
，已知米，米，米，米，．为了美观，要在边下方取一点Q，且点Q必须满足，现在要在五边形地块内部修一个游客服务中心P，并且使得游客服务中心P到点B、C、Q的距离和最小，请求出的最小值．
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【推荐2】如图，在矩形中，
，
，点E在上，
．点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿线段
向终点C运动；同时点Q从点A出发沿折线
向终点E运动，在上的速度为每秒
个单位长度，在
上的速度为每秒2个单位长度．过点P作
于点M，过点Q作
于点N．设运动的时间为x秒
，四边形
和四边形
重叠部分的图形面积为y．上时，
______；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当
平分
时，直接写出x的值．
，，，点E在上，．点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点C运动；同时点Q从点A出发沿折线向终点E运动，在上的速度为每秒个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度．过点P作于点M，过点Q作于点N．设运动的时间为x秒，四边形和四边形重叠部分的图形面积为y．
上时，______；(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当
平分时，直接写出x的值．
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，
，
，
，等腰直角三角尺的直角边
恰好垂直平分
．
的长；
绕点
．猜想
与
之间的数量关系，并说明理由；
，
，
与
，
与
，将
水平平移，求平移过程中
的最小值．
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【推荐1】如图是由小正方形组成的
网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形
四个顶点都是格点，E是
上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
绕点B顺时针旋转
，画对应线段
，再在
上画点G，并连接
，使
；
(2)在图（2）中，M是与网格线的交点，先画点M关于
的对称点N，再在上画点H，使得四边形
为菱形．
网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
绕点B顺时针旋转，画对应线段，再在上画点G，并连接，使；(2)在图（2）中，M是
与网格线的交点，先画点M关于的对称点N，再在上画点H，使得四边形为菱形．
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【推荐2】如图1，
的半径为
，
的顶点，，
在上，
．
(1)求证：
是的切线；
(2)若也与相切，求证：四边形是菱形；
(3)如图2，与相交于点，连接于
，当
时，求的对角线
的长及阴影部分图形的面积．
的半径为，的顶点，，在上，．(1)求证：
是的切线；(2)若
也与相切，求证：四边形是菱形；(3)如图2，
与相交于点，连接于，当时，求的对角线的长及阴影部分图形的面积．
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