【推荐2】感知与填空:如图①，直线，求证:.

阅读下面的解答过程，并填上适当的理由，
解:过点作直线,
（              ）
(已知)，,
（              ）
（              ）
,
（              ）
应用与拓展:如图②，直线，若.

则          度
方法与实践:如图③，直线，若,则            度.

【推荐3】已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点．

(1)如图1：
①如果，，那么的度数为______；
②如果设，，那么的度数为______．
（用含有、的式子表示）
(2)如图2：
①试说明；
②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______．

【推荐2】综合与实践：
在一次数学活动课上，老师带领学生对矩形纸片进行如下操作：

(1)探究一：
如图1，矩形纸片中，．如图2，点P在上，点Q在上，，将纸片沿翻折，使顶点C落在矩形内，对应点为的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A落在直线上，对应点为，折痕为．猜想，之间的位置关系为：        
(2)探究二：
如图3，将纸片任意翻折，折痕（P在上，Q在上），使顶点C落在矩形内，对应点为 的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A落在直线上，对应点为，折痕为．猜想，之间的位置关系，并给出证明．
(3)探究三：
如图4，若，，，当P为的三等分点时，直接写出的值．

【推荐1】【问题原型】如图①，，点M在直线AB、CD之间，请说明，
【问题迁移】如图②，，点M与直线CD分别在AB的两侧，请写出、、之间有怎样的数量关系，不需要证明．
   
【推广应用】
（1）如图③，，点M在直线AB、CD之间，的平分线与的平分线交于点N，，则______°；
（2）如图④，，点M与直线CD分别在AB的两侧，的平分线与的平分线交于点N，，则______°；
（3）如图⑤，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则______°．
   

【推荐3】将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N．

【发现】
（1）如图1，若点A在内，当时，则      ；
（2）如图2，若点A在内，当时，      ；
【探究】
若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由；
【应用】
如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数；
【拓展】
如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系      ．

【推荐1】（1）如图，设，，，求证：；
（2）若把（1）的题设中的“”与结论中的“”对调后，命题还成立吗？说明理由；
（3）若把（1）的题设中的“”与结论中的“”对调后，命题还成立吗？说明理由．

【推荐2】公元3世纪初，我国数学家赵爽证明勾股定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点、点、点三点共线）进行了勾股定理的证明．与是一样的直角三角板，两直角边长为，，斜边是．
请用此图1证明勾股定理．

   

扩展应用1：如图2，以的边和边为边长分别向外作正方形和正方形，过点分别作的垂线段，那么的数量关系是怎样?说明理由．
扩展应用2：如图3，在两平行线之间有一正方形，已知点和点分别在直上，过点作直线，已知之间距离为，之间距离为2．直接出正方形的面积是      ．

【推荐3】如图，已知AB∥CD，点M，N分别是AB，CD上两点，点G在AB，CD之间．

（1）求证：∠AMG+∠CNG＝∠MGN；
（2）如图②，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E+∠G＝90°，求∠AME的度数；
（3）如图③，若点P是（2）中的EM上一动点，PQ平分∠MPN．NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ∥NH，直接写出∠JPQ的度数．