【推荐1】【问题背景】（1）如图1，点是线段，的中点，求证：；
【变式迁移】（2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断三边数量关系并说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），过点作，连接，若，，求的长．

【推荐2】如图锐角∠EAF，B、C分别为 AE、AF上一点．
（1）如图 1，∠EAF=50°，连接BC，∠CBA=α，∠BCA=β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点P，则α+β=_____°，∠P=______°；
（2）Q为∠EAF 内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为 BM、CN．
①如图 2，若∠EAF=50°，∠CQB=100°，BM与DN交于点P，则∠BPC的度数为______；
②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF 相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；
③BM与 CN 可能垂直吗？若不能说明理由，若能，写出此时∠CQB与∠EAF 的数量关系．

【推荐3】如图，，．

(1)求证：；
(2)若，试探索：，，的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，，，求的度数．

【推荐1】探究
(1)已知如图1，若AB∥CD，P为平行线内的一点请你判断∠B+∠P+∠D=           度，并说明理由.

(2)如图2，若AB∥CD ，P_1、P₂为平行线内的两个点，请求出∠B+∠P₁+∠P₂+∠D=           度(不需要说明理由)
(3)如图3，如此类推若AB∥CD，P_1、、P₂、P₃、P₄、……P_n为平行线内的n个点，请求出∠B+∠P₁+∠P₂+∠P₃+……．+∠P_n-1+∠P_n+∠D=           度(不需要说明理由)

【推荐2】课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．

   

解：过点作，所以　　，　　，
又因为，
所以．

   

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图1，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、．
①如图2，已知，，请直接写出的度数；
②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．

   

【推荐3】已知，平分，平分．
       
（1）求的度数；
（2）如图2，过点的直线交射线于点，交射线于点，求证：；
（3）如图3，过点的直线交射线的反向延长线于点，交射线于点，，，，求的面积．

【推荐1】给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

(1)以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形．
(2)如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形．
②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度．

【推荐2】已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
（1）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示，求∠AFQ的度数；
（2）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．

【推荐3】如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
   
【试题再现】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E．求证∶△ADC∽△CEB．
【问题探究】在图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由．
【深入探究】如图③，ADBC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于点P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B．
（1）请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点．
（2）若AD=3，BC=5，试求AB的长．

【推荐1】如图，一条抛物线经过原点和点C（8，0），A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，点A坐标为（3，4），点E在线段OC上，点F在线段BC上，且满足∠BEF=∠AOC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若四边形OABE的面积为14，求S_△ECF；

（3）是否存在点E，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.