【推荐1】某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
操作发现：
（1）如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE､CD，请你完成作图并证明BE=CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
类比探究：
（2）如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE､BG，则线段CE､BG有什么关系？说明理由．
灵活运用：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长．

【推荐2】如图①，点P是∠AOB的平分线OC上的一点，我们可以分别OA、OB在截取点M、N，使OM=ON，连结PM、PN，就可得到.

（1）请你在图①中,根据题意，画出上面叙述的全等三角形和，并加以证明．
（2）请你参考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列问题：
（Ⅰ）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系.
（Ⅱ）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（Ⅰ）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【推荐3】如图1，2，平行四边形中，为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．

（1）在图1中，在四边形外部画一个与三角形全等的三角形．
（2）在图2中，在四边形内部画一个与三角形全等的三角形．

【推荐1】如图，，点是线段的一个三等分点，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，连接
   
(1)求证:是的切线；
(2)点为上的一动点，连接.
①当      时，四边形是菱形;
②当      时，四边形是矩形.

【推荐2】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A在直线DE上，过C点作CF⊥DE于F，过B点作BG⊥DE于G．

（1）发现问题：如图1，当B、C两点均在直线DE上方时，线段AG、BG和CF存在的数量关系是　 　．
（2）类比探究：当△ABC绕点A顺时针旋转至图2的位置时，线段AG、BG和CF之间的数量关系是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请写出你的猜想，并给予证明；
（3）拓展延伸：当△ABC绕点A顺时针旋转至图3的位置时，若CF＝1，AG＝2，请直接写出△ABC的面积．

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x²上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．

（1）如图1，当m=时，
①求线段OP的长和tan∠POM的值；
②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．
①用含m的代数式表示点Q的坐标；
②求证：四边形ODME是矩形．

【推荐2】如图1，四边形ABCD是菱形，AD=10，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=6．
（1）求证：DM=BM；
（2）求MH的长；
（3）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，当点P在边AB上运动时是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，若存在，则求出t值，若不存，在请说明理由．

【推荐3】如图，在四边形中，点是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转度交直线于点．
   
(1)如图①，若四边形为菱形，点在线段上，，，求证：；
(2)如图②，若四边形为正方形，点在线段的延长线上，，连接，试猜想线段，与之间的数量关系，并加以证明；
(3)若四边形为正方形，，，，连接，请直接写出的长．

【推荐1】如图，在中，⊥弦，垂足为E．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)．

(1)在图1中作弦，使；
(2)在图2中作矩形．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，仅用无刻度的直尺在给定的的网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
   
(1)将线段绕点逆时针旋转，画出对应的线段；
(2)在轴的正半轴上画点，使；
(3)过点画线段，使，且．

【推荐3】如图是在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1.点，，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，结果用实线表示.

(1)在图（1）中，画一个格点，使四边形为平行四边形，再在上画点，使；并在上画一个点，使得四边形的面积为；
(2)在图（2）中，若点是上任一点，画出将线段绕点逆时针旋转后得到的线段