【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在x轴上，点B的坐标为，，，边与y轴交于点E．

(1)点A坐标______；点C坐标______；
(2)在x轴上取点，直线经过点E，与x轴交于点M，连接．
①当时，求直线的函数表达式；
②当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点M的坐标．

【推荐1】如图，的顶点坐标分别为，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作分别交于点M、N，连接．设运动时间为t（秒）．

(1)求点M的坐标（用含t的式子表示）；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)连接，当时，求点N到的距离．

【推荐2】如图，直线与轴，轴分别交于点，．点在轴正半轴上，把沿折叠，点恰好落在轴负半轴上的点处．直线交直线于点．点是轴正半轴上的一动点，点是直线上的一动点．

(1)填空：点，，坐标分别为___________；___________；___________．
(2)求的面积．
(3)连结．与全等（点与点不重合），直接写出所有满足条件的点坐标．

【推荐3】如图，抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧），该抛物线的对称轴是直线．
   
(1)若点在该抛物线上，求抛物线的解析式；
(2)当，且时，求抛物线的最大值与最小值的差；
(3)已知是直线上的动点，将点向下平移2个单位长度得到点．若线段与抛物线有公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．

【推荐1】在平面直角坐标系中，对于任意两个图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作．如图，已知，其中，，，D，E为三角形外两点．例如，点A与x轴之间的“关联距离”，线段与y轴之间的“关联距离”．

(1)求点A与直线之间的“关联距离”；
(2)若，，将线段向左平移n个单位，当线段与之间的“关联距离”时，求n的最小值；
(3)若，，当时，对于每一个m，都满足线段与一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，求k的取值范围．

【推荐2】某工地需要利用炸药实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到300米以外的安全区域，炸药导火线的长度y（厘米）与燃烧的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．
（1）请写出点B的实际意义，
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）问操作人员跑步的速度必须超过多少，才能保证安全．

【推荐3】中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购头一批体育健身器材，已知购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．
(1)求篮球和排球的单价；
(2)某体育用品店有两种优惠方案，
方案一：每购买一个篮球就送一个排球；
方案二：购买篮球和排球的费用一律打七五折，该学校需要购买40个篮球和x个排球．
方案一的费用为元，方案二的费用为元．
①根据题目信息，直接写出与x的的函数表达式______；与x的函数表达式______；
②请根据购买排球的数量x设计一种比较省钱的购买方案．

【推荐1】如图，点C，D，E在线段上，线段，C是线段上靠近点A的三等分点．点E为线段的中点，且图中所有线段的长度和是线段的长度的10倍，求的长度．

【推荐3】如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣8，点C在数轴上表示的数是10，若线段 AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的数度也向右匀速运动．
   
（1）运动t秒后，点B表示的数是       ；点C表示的数是       ；（用含有t的代数式表示）
（2）求运动多少秒后，BC＝4（单位长度）；
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上，且点P不在线段CD上时，是否存在关系式 BD﹣AP＝3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．