【推荐1】如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且、直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
   
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标．
(2)连结，判断线段与线段有何关系，请说明理由．
(3)如图2．若点是直线上方的抛物线上的一动点，设点的横坐标为．
①连结、，当为何值时，．
②在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请求出的值，不存在请说明理由．

【推荐2】如图1，抛物线：经过点A（1，0）和点B（5，0）．已知直线l的解析式为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；
(3)如图2．当k＝2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线l上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值．
(4)如图3，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图像与原抛物线剩余的部分组成的新图像记为．
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；
②直接写出直线l与图像有四个交点时k的取值范围．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B抛物线经过A，B两点，是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点P的横坐标；
(3)设M是抛物线的对称轴上一点，N是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求此正方形的面积．

【推荐1】如图11，已知抛物线与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．

(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；
(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；
(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，抛物线 过点． 点A在抛物线上横坐标为．点 P 的坐标为以点 P为中心，作矩形，使轴．
(1)求抛物线的表达式．
(2)当抛物线与矩形的一条边有两个交点，且这两个交点之间的距离为1时，求 m 的值．
(3)当抛物线在矩形中（不包括边界）对应的函数值y 随x的增大而增大时，求 m的取值范围．
(4)当抛物线与矩形只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．

【推荐3】已知函数均为一次函数，m为常数．
   
（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45°得到直线，直线交y轴于点B．若直线恰好是中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得成立，求函数图象间的距离；
（3）当时，函数图象分别交x轴，y轴于C，E两点，图象交x轴于D点，将函数的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上，设的图象，线段，线段围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）