【推荐2】如图，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作轴于点H，与BC交于点M．
①求线段PM长度的最大值．
②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求的最小值．

【推荐1】（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）
（2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．
（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．
              

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点，点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P是抛物线上的一点，当和面积相等时，请求出所有点P的坐标．

【推荐3】如图，已知直线，直线分别与，交于O点，G点．P点是直线上的一个动点．

(1)如图1，当P运动至与之间时，过点P作分别交、于M、N．若，求的度数；
(2)如图2，当点P运动至直线上方时，过点P作分别交、于M、N．作的角平分线并反向延长交于点T，交于点Q，作的角平分线与交于点H，若，求的度数；
(3)过点P作分别交、于M、N，设与交于点K，点O在之间，点M在点O的左边且，．沿直线方向平移直线，并保持始终在下方，使得．连接、、．请直接写出的面积．

【推荐1】点为正方形对角线与的交点，点为直线上一点(点与点，点，点不重合)，连接．

   
(1)如图1，若点为的中点，，求的面积；
(2)如图，若点在线段上，过点作交于点，交于点．过点作交于点．求证：；
(3)若点为直线上一动点，其它条件与()问条件不变．请写出线段，，之间的数量关系．

【推荐2】如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，于点．

   

(1)如图1，过B作交的延长线于点若，，求的长度；
(2)如图2，将绕点逆时针旋转到，连接交于点，猜想和之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在第（2）问的条件下，将沿着翻折得到，连接，当线段取得最大值，请直接写出的值．

【推荐3】已知：在正方形中，为对角线上一点，过点作，交于点，连接，为的中点，连接，．
   
【猜想论证】
(1)猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【拓展探究】
(2)将图中绕点逆时针旋转得到图，取中点，连接，你在中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．

【推荐1】如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点，．点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），连接，设点F的横坐标为x．
   
(1)求一次函数的解折式；
(2)求的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当的面积时，
①判断此时线段与的数量关系并说明理由；
②第一象限内是否存在一点P，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线相交于点.
   
(1)求直线的解析式；
(2)连接，点M为x轴上一点，点N在线段上（不与点O重合）.当，且为等腰三角形时，直接写出点M的横坐标.

【推荐3】如图，已知中，，点D为的中点．

(1)如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过多少时间后，点P与点Q第一次在的哪一边上相遇？