综合与实践：数学课上，同学们以“等边三角形折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断，操作一：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，使点B和点C重合，得到折痕
，把纸片展开，如图（2）；操作二：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，分别使点B和点C重合，点A和点C重合，点A和点B重合，折叠三次，得到三条折痕，
，
，三条折痕的相交于点O，把纸片展开，如图（3）；若等边三角形的边长为4，根据以上操作，①
；②
；③
，这三种线段和中，线段和最小的是（填序号）________，最小值是 ．
(2)迁移研究：小帅同学将等边三角形纸片换成等腰三角形纸片，继续研究，过程如下：将等腰三角形纸片
按照（1）中的操作二进行折叠，折痕交点为点O，把纸片展开，如图（4），若
，
，求点O到点A的距离．
(3)拓展应用：在等腰△ABC中，已知
，
的面积为10，点O到三个顶点的距离相等，请直接写出点O到点A的距离．
(1)操作判断，操作一：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，使点B和点C重合，得到折痕
，把纸片展开，如图（2）；操作二：将如图（1）所示的等边三角形纸片折叠，分别使点B和点C重合，点A和点C重合，点A和点B重合，折叠三次，得到三条折痕，，，三条折痕的相交于点O，把纸片展开，如图（3）；若等边三角形的边长为4，根据以上操作，①；②；③，这三种线段和中，线段和最小的是（填序号）________，最小值是 ．(2)迁移研究：小帅同学将等边三角形纸片换成等腰三角形纸片，继续研究，过程如下：将等腰三角形纸片
按照（1）中的操作二进行折叠，折痕交点为点O，把纸片展开，如图（4），若，，求点O到点A的距离．(3)拓展应用：在等腰△ABC中，已知
，的面积为10，点O到三个顶点的距离相等，请直接写出点O到点A的距离．
更新时间：2023-08-04 18:31:54
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】△ABC是等边三角形．（等边三角形三边相等，三个角均为60°）
（1）如图1，若D是边BC上的一动点，连接AD ，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，说明△ABD≌△ACE．
（2）若D是射线BC上的一动点，连接AD ，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，△ABC的边长为5，若CD=1，求CE．
（3）若D是射线BC上的一动点，连接AD ，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，连接BE，△ABE的面积是否会随着点D的位置的变化而变化，如果变化，直接写出是如何变化的；如果不变，请说明理由．
（1）如图1，若D是边BC上的一动点，连接AD ，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，说明△ABD≌△ACE．
（2）若D是射线BC上的一动点，连接AD ，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，△ABC的边长为5，若CD=1，求CE．
（3）若D是射线BC上的一动点，连接AD ，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，连接BE，△ABE的面积是否会随着点D的位置的变化而变化，如果变化，直接写出是如何变化的；如果不变，请说明理由．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A以1cm/秒的速度向点C运动，点E从点C以2cm/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动的时间为t秒，过点E作EF//AC交AB于点F．
(1)当t为何值时，△DEC为等边三角形；
(2)当t为何值时，△DEC是直角三角形；
(3)求证：DC＝EF；
(4)连接CF，当CF平分∠ACB时，直接写出AF与BF之间的数量关系．
(1)当t为何值时，△DEC为等边三角形；
(2)当t为何值时，△DEC是直角三角形；
(3)求证：DC＝EF；
(4)连接CF，当CF平分∠ACB时，直接写出AF与BF之间的数量关系．
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，若
，
，
，若
，求点D的坐标；
于点F，以
为边作等边
，连接
交
于点N，点E在
，连接
的数量关系．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】四边形
为平行四边形．
(1)将平行四边形沿对角线
翻折，点A落在点
处，连接
，
．
①如图1，延长
、
于点E，求证： 
；
②如图2，若
，交
于M，N为
上一点，直线
交于P，满足
，试猜想
的值，并说明理由；
(2)如图3，点E是边上的动点，己知
，现
，现将
沿
折叠，点
点是B的对应点，设
长为
，若点落在
内（包括边界），直接写出的取值范围为 .
为平行四边形．(1)将平行四边形
沿对角线翻折，点A落在点处，连接，．①如图1，延长
、于点E，求证： ；②如图2，若
，交于M，N为上一点，直线交于P，满足，试猜想的值，并说明理由；(2)如图3，点E是
边上的动点，己知，现，现将沿折叠，点点是B的对应点，设长为，若点落在内（包括边界），直接写出的取值范围为 .
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐2】已知：如图1，△ABC中，∠CAB=120°， AC=AB，点D是BC上一点，其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE
(1)求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）；
(2)如图2，当α=45°时，解决以下问题：
①已知AD=2，求CE的值；
②证明：DC-DE=
AD；
(1)求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）；
(2)如图2，当α=45°时，解决以下问题：
①已知AD=2，求CE的值；
②证明：DC-DE=
AD；
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阅读理解
在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在
中，
，若点
．
中，
，
，
，点
沿
，连接
的长为 ．
的形状，并说明理由．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在
中，F为的中点，E为边上一点，连接
、，连接
并延长交的延长线于G，若
，试猜想与的位置关系，并加以证明．
（1）请解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为
，连接
并延长交
于点G，判断四边形
的形状，并加以证明．
【问题解决】
（3）如图3，智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，使
于点H，
交于点N，折痕交边于点M．该小组提出一个问题：若
，
，直接写出
的面积．
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在
中，F为的中点，E为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于G，若，试猜想与的位置关系，并加以证明．
（1）请解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题的启发，将
沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为，连接并延长交于点G，判断四边形的形状，并加以证明．【问题解决】
（3）如图3，智慧小组突发奇想，将
沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，使于点H，交于点N，折痕交边于点M．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，点
、
、
的坐标分别为
、
、
，
，将
沿着射线
翻折，点落到
轴上点
处．
（1）求点的坐标；
（2）动点
以每秒1个单位长度的速度从点出发沿着线段
向终点运动，运动时间为
秒，请用含有的式子表示
的面积，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点
以每秒2个单位长度的速度从点出发沿着线段
向终点运动，动点
以每秒
个单位长度的速度从点出发沿着轴正方向运动，点、、同时出发；点停止时，点、也停止运动，当
时，求的值．
为坐标原点，点、、的坐标分别为、、，，将沿着射线翻折，点落到轴上点处．（1）求点
的坐标；（2）动点
以每秒1个单位长度的速度从点出发沿着线段向终点运动，运动时间为秒，请用含有的式子表示的面积，并直接写出的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点
以每秒2个单位长度的速度从点出发沿着线段向终点运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿着轴正方向运动，点、、同时出发；点停止时，点、也停止运动，当时，求的值．
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，
，E在
，将
沿
，
；
，求
的周长；
与
与
的周长之和为y，则y的值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y．
