【推荐1】如图，在中，，点D在边上．

(1)求作：点E．使四边形是平行四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)以（1）中的边为直径作交的延长线于点F，若．求证：．

【推荐2】如图，AB∥DC，AB＝DC，AC与BD相交于点O．
求证：AO＝CO．

【推荐3】已知．（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线AE；
②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的条件下线段AP与AQ有什么数量关系，请直接写出结论．

【推荐1】教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．

定理证明：请根据教材内容，结合如图23.4.2，写出证明过程．

定理应用：（1）如图①，是的中位线，M、N分别是的中点，，则______．
（2）如图②，在矩形中，为矩形的对角线，点E在边上，且，点F在边上，，连接，若，M、N分别为的中点，的长度为______，的长度为______．

【推荐2】如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒．

(1)求证：当时，四边形是平行四边形；
(2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由；
(3)若是以为腰的等腰三角形，求的值．

【推荐3】已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积．
   

【推荐1】已知：如图，在中，．
求作：的角平分线．
作法：①分别以点B，C为圆心，长为半径作弧，
两弧在下方相交于点D；
②连接，交于点T．
所以就是所求作的线段．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，．
∵，
∴四边形是___________（_________）（填推理的依据）．
∴__________．
∴为的角平分线．

【推荐2】如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作交于点，交于点，连接，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，求的长．

【推荐3】如图，四边形ABCD是平行四边形，，BE、DF分别交AC于点E，F．

(1)求证：；
(2)当四边形ABCD是菱形时，请判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论．