【推荐1】综合与探究
如图，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
          
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设点D在第一象限，且，求点D的坐标；
(3)点A绕抛物线的对称轴上一点P顺时针旋转90°恰好与点C重合，将沿x轴平移得到，点A，C，P的对应点分别为点，，．在抛物线上是否存在点E，使得以，，，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知△ABC中，∠ACB＝90°，将AB边绕点B顺时针旋转90°得线段BD．过点D作DM⊥BC交BC延长线于M，

（1）如图1，请判断线段AC、CM、MD的数量关系并说明理由；
（2）E为DM延长线上一点，当点E为如图2所示的位置时，以AE为斜边向右侧作等腰Rt△AFE，再过点F作FN⊥DM于N，探究BM、FN、MN三条线段的数量关系，并说明理由；
（3）在问题（2）的条件下，当点E运动到某一位置时点B、A、F三点恰好在同一直线上，取DE中点P，连接AP，且AB＝3，AF＝1，请直接写出AP的值．

【推荐3】在和中，．

(1)连接，点分别为的中点，连接，
①如图1，当三点在一条直线上时，与数量关系与位置关系是________．
②如图2，当等腰绕点顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
(2)如图3，当等腰绕点顺时针旋转时，连接，点分别为的中点，连接，若，则的最大值是__________．

【推荐1】在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点，图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况。
研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：n，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明

【推荐2】【情景呈现】画，并画的平分线．

(1)把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，，（如图1）．则．（选填：“＜”、“＞”或“＝”）
(2)把三角尺绕点旋转（如图2），猜想，的大小关系，并说明理由．
【理解应用】
(3)在（2）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3猜想，，之间的关系为______．
【拓展延伸】
(4)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．

【推荐1】在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．

   

(1)若点N刚好落在折痕上时，
①如图1，过N作，求证：；
②如图2，求的度数；
(2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长．

【推荐3】如图，在正方形中，点在对角线上，交于点，连接．
   
(1)如图 ，若，，求的长；
(2)如图 ，连接，交于点，若，求线段的长；
(3)如图 ，连接，，设，的面积为，请用 的表达式表示，并求出的最大值；当取得最大值时，连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，与交于点，连接，求证：．

【推荐2】如图1，点是正方形边上任意一点，以为边作正方形，连接，点是线段中点，射线与交于点，连接．
（1）请直接写出和的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形绕点顺时针旋转，此时点恰好落在线段上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形绕点顺时针旋转，此时点、恰好分别落在线段、 上，连接，如图3，其他条件不变，若，，直接写出的长度．

【推荐3】如图1所示，四边形AEFG与四边形ABCD是正方形，其中G、A、B三点在同一直线上．连接DG、BE．完成下面问题：
（1）求证：BE=DG；
（2）如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针转过一定角度时，小明发现：BE=DG且BE⊥DG，请你帮助小明证明这两个结论；
（3）如图3，小明还发现：在旋转过程中，分别连接EG、GB、BD、DE的中点，得到的四边形MNPQ是正方形．若AB=a，AE=b其中a＞b，你能帮小明求出正方形MNPQ的面积的范围吗？写出过程．