【推荐1】如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

【推荐2】在正方形中，，绕点按顺时针方向旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，两点，当绕点旋转到时，如图①，易证：（不需证明）．

(1)当绕点旋转到时，如图②，线段，和之间有怎样的数量关系？并说明理由；
(2)当绕点旋转到如图③所示的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

【推荐3】如图，在中 ，，边上的中线．
   
(1)以点D为对称中心，作出的中心对称图形；
(2)求的面积的值．

【推荐2】探究与运用
问题情境：
勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理．
定理表述：
（1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；

尝试证明：
（2）利用图1中的直角三角形可以构造出图2的正方形，请你利用图2证明勾股定理．

定理应用：
（3）某工程队要从点向点铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？

【推荐3】如图，是的直径，点是上一点，延长到点，使得，点在的延长线上，点是线段上一点，交于、交于．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：
(3)若，，，求的面积．

【推荐1】在等边中，于点F，点A为直线DF上一动点，以点B为旋转中心，把BA顺时针旋转60°至BE．

(1)如图1，点A在线段DF上，连接CE，求证：；
(2)如图2，点A在线段FD的延长线上，请在图中画出BE并连接CE，当时，连接AC，求出的度数；
(3)在点A的运动过程中，若，求EF的最小值

【推荐3】如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．

(1)______°；
(2)取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

【推荐1】已知:如图和都是等边角形．是延长线上一点，与相交于点．、相交于点，、相交于点．
   
(1)在图①中，求证:；
(2)当绕点沿逆时针方向旋转到图②时，________．

【推荐2】如图，已知给定，其中，射线经过斜边的中点O．

(1)以点B为旋转中心，将按顺时针旋转到（A与，C与分别是对应顶点），且点恰好落在射线上，请作出符合要求的．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并写出结论）．
(2)若，求旋转的角度．

【推荐3】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E．

(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E；
(2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）