如图，在四边形
中，
，
，
，点
从点
出发以
的速度沿
向点
匀速移动，点
从点
出发以
的速度沿
向点匀速移动，点
从点
出发以
的速度沿
向点匀速移动，点、、同时出发，当其中一个点到达终点时，另外两个点也随之停止运动，设移动时间为
．
(1)如图1，连接
、
，当
时，
的值为______；
(2)如图2，当以、、为顶点的三角形与
全等时，求出相应
和的值；
(3)如图3，连接
、
交于点
，当
且
时，试证明：
．
中，，，，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点、、同时出发，当其中一个点到达终点时，另外两个点也随之停止运动，设移动时间为． (1)如图1，连接
、，当时，的值为______；(2)如图2，当以
、、为顶点的三角形与全等时，求出相应和的值；(3)如图3，连接
、交于点，当且时，试证明：．
更新时间：2023-08-22 22:04:43
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解答题-作图题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法．
例如解绝对值方程：
．
解：分类讨论：
当
时，原方程可化为
，它的解是
．
当
时，原方程可化
，它的解是
．
∴原方程的解为或．
(1)依例题的解法，方程
的解是___________；
(2)在尝试解绝对值方程
时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程；
(3)在尝试解绝对值方程
，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，
表示数a，b在数轴上对应的两点A、B之间的距离，则表示数x与3在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是___________；
(4)在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x的方程
；（如果用数形结合的思想，需要画出数轴，并加以必要说明）．
例如解绝对值方程：
．解：分类讨论：
当
时，原方程可化为，它的解是．当
时，原方程可化，它的解是．∴原方程的解为
或．(1)依例题的解法，方程
的解是___________；(2)在尝试解绝对值方程
时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程；(3)在尝试解绝对值方程
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；（如果用数形结合的思想，需要画出数轴，并加以必要说明）．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，点，在数轴上
点在点左侧
，，两点表示的数分别为和
，点，之间的距离记为
．数轴上有另一点，满足
．
(1)若
，
①求；
②点从点出发，沿数轴向左运动，当
时，求点所表示的数；
(2)若点在点，之间，点仍从点出发，以每秒
个单位长度沿数轴向左匀速运动，同时点
从点出发以每秒
个单位长度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为
，当
时，求的值用含，的式子表示)．
，在数轴上点在点左侧，，两点表示的数分别为和，点，之间的距离记为．数轴上有另一点，满足． (1)若
，①求
；②点
从点出发，沿数轴向左运动，当时，求点所表示的数；(2)若点
在点，之间，点仍从点出发，以每秒个单位长度沿数轴向左匀速运动，同时点从点出发以每秒个单位长度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为，当时，求的值用含，的式子表示)．
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【推荐3】为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从
开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从
开始顺时针旋转至
便立即回转，两灯不停交又照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即
，且
．
（1）填空：
_________；
（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作
交
于点，且
，则在转动过程中，请探究
与
的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交又照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：
_________；（2）若灯
射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯
射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中
．
厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知
，求该长方体纸盒的体积；
(3)小明按照图1的方式用边长为
厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为
厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
(1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）
厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．
厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米；②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知
，求该长方体纸盒的体积；(3)小明按照图1的方式用边长为
厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
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解答题-计算题
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较难
(0.4)
【推荐2】某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．
根据以上信息，解决以下问题：
(1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
(2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为
？请通过计算说明理由．
(3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．
| 情境 | 内容 | 图形 |
| 情境1 | 工厂仓库内现存有 的正方形纸板200张， 的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． |
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| 情境2 | 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为 ，乙纸板尺寸为 ，丙纸板尺寸为 ．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． |
|
| 情境3 | 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4 |
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(1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
(2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为
？请通过计算说明理由．(3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为
，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．
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解答题-应用题
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较难
(0.4)
【推荐3】根据以下素材，探索完成任务．
| 如何设计礼品盒制作方案 | |||||||||||||||||
素材1 | 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． | ||||||||||||||||
| 素材2 | 现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） | ||||||||||||||||
| 问题解决 | |||||||||||||||||
任务1 | 初探 方案 | 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若  ，（1）完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒？
| |||||||||||||||
| 任务2 | 反思 方案 | 探究二： 若  ，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． | |||||||||||||||
| 任务3 | 优化 方案 | 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空）
| |||||||||||||||
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且
．
（1）填空：
_____°；
（2）填空：若灯A射线与灯B射线第一次在重合，则灯B射线先转动_____秒，灯A射线才开始转动．
（3）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：
_____°；（2）填空：若灯A射线与灯B射线第一次在
重合，则灯B射线先转动_____秒，灯A射线才开始转动．（3）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达
之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】等腰△ABD中，AD=BD，将△ABD绕腰BD的中点顺时针旋转180°，得到△CDB，CE平分∠BCD交BD于点E，在BC的延长线上取点F，使CF=DE，连接EF交CD于点G．
（1）如图1，∠A=60°，AB=4，求CF的长；
（2）如图2，求证：DE=2CG．
（1）如图1，∠A=60°，AB=4，求CF的长；
（2）如图2，求证：DE=2CG．
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与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C（3，0），且图象过点D（2，3），连结AD，点P是线段AD上一个动点，过点P作y轴平行线分别交抛物线和x轴于点E，F．连结AE，过点F作FG//AE交AD的延长线于点G．
，求点E的坐标；
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板
的直角顶点O放置在另一块直角三角板
的斜边的中点处，并将三角板
绕点O任意旋转．
(1)【发现结论】当三角板的两边
分别与另一块三角板的边
交于点P，Q时（规定此时点P，Q分别在边上运动）．
①如图1，当
时，
与
的数量关系为_________；
②小组成员发现当
与
不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在一个数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形
的面积始终保持不变，请你判断嘉淇的结论是否正确，并说明理由；若
，求出四边形的面积；
(2)【探究延伸】如图3，连接
，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若
，直接写出线段长的最小值和最大值．
的直角顶点O放置在另一块直角三角板的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转．(1)【发现结论】当三角板
的两边分别与另一块三角板的边交于点P，Q时（规定此时点P，Q分别在边上运动）．①如图1，当
时，与的数量关系为_________；②小组成员发现当
与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在一个数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形
的面积始终保持不变，请你判断嘉淇的结论是否正确，并说明理由；若，求出四边形的面积；(2)【探究延伸】如图3，连接
，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，直接写出线段长的最小值和最大值．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图（1）在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N．
（1）求点C的坐标；
（2）求证：MD=MN；
（3）如图（2），连接DN交BC于F，连接FM，探究线段MF、CF、OM之间有什么数量关系？并证明你的结论．
（1）求点C的坐标；
（2）求证：MD=MN；
（3）如图（2），连接DN交BC于F，连接FM，探究线段MF、CF、OM之间有什么数量关系？并证明你的结论．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐3】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
(1)如图，
，
，过点作
于点，过点作
于点．由
，得
．又
，可以推理得到
．进而得到
__________，
．我们把这个数学模型称为“
字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
(2)如图，
，，
，连接
，
，且
于点
，与直线
交于点
．求证：点是的中点；
【深入探究】
(3)如图，已知四边形和
为正方形，
的面积为
，
的面积为
，则有__________（填“＞、
、＜”）
(4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形
、
、
都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则
的面积是__________．
【模型呈现】
(1)如图，
，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】
(2)如图，
，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；【深入探究】
(3)如图，已知四边形
和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”）(4)如图，点
、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________．
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