【推荐1】如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作矩形．
          
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交AC于点，交于点D，折痕，求线段的长度和直线的解析式；
(3)在第（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC，D是BC的中点．

（1）求OC的长和点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．

【推荐3】如图，四边形内接于，，对角线为的直径，与交于点．点为延长线上，且．

（1）证明：；
（2）若，，求的长；
（3）若交于点，连接．证明：为的切线．

【推荐2】【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板的直角顶点O放置在另一块直角三角板的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转．

(1)【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边交于点P，Q时（规定此时点P，Q分别在边上运动）．
①如图1，当时，与的数量关系为_________；
②小组成员发现当与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在一个数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形的面积始终保持不变，请你判断嘉淇的结论是否正确，并说明理由；若，求出四边形的面积；
(2)【探究延伸】如图3，连接，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，直接写出线段长的最小值和最大值．

【推荐3】综合与探究
问题情境
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接DE，CE．
探究发现

（1）如图1，BD＝CE，BD⊥CE，请证明；探究猜想；
（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；
探究拓广
（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．

【推荐2】【问题背景】

（1）如图1，在中，D为上一点，，求证：．

【尝试应用】

（2）如图2，在中，，，面积为6，求证：．

【拓展创新】

（3）在中，，面积为，D为外一点，，，直接写出的长．

【推荐3】如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN＝AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．

【推荐1】如图1，是等边三角形中不共线三点，连接，三条线段两两分别相交于．已知．

(1)证明： ；
(2)如图2，点M是上一点，连接，以为边向右作，连接．若，证明： ．
(3)如图3，在（2）的条件下，当点M与点D重合时，若，请问在内部是否存在点P使得P到三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．

【推荐2】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

【推荐3】如图，四边形中，对角线与交于点O，．

（1）求证：四边形是正方形；
（2）若H是边上一点（H与A，B不重合），连接，将线段绕点H顺时针旋转90°，得到线段，过点E分别作及延长线的垂线，垂足分别为F、G，求证：四边形是正方形．