【推荐1】如图，已知，，．
   
(1)求证：；
(2)过点E作，交的延长线于点M，过点M作，交的延长线于点P．
①求的度数；
②连接，交于点N，证明垂直平分；
(3)点O是直线上的动点，当的值最小时，证明点O与点E重合．

【推荐2】在中，，，是的角平分线.过点作于点，以未顶点作，使的两边分别交直线于点，交直线于点，请解答下列问题：

(1)如图1，当点在线段上，点在线段上且时，求证：；
(2)求出图1中的度数，并判断线段、、之间的数量关系，加以证明；
(3)不改变图1中的大小．
①如图2，当点在线段上，点在线段的延长线时，线段、、之间的数量关系为________；
②如图3，当点在线段的延长线上，点在线段上时，线段、、之间的数量关系为________．

【推荐3】如图1， 在四边形 中， ，， 动点 P从B开始沿折线向D以/秒的速度运动，动点Q从D开始沿折线向B以/秒的速度运动，P、Q分别从B、D同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：

(1)①点A 到边的距离为             ；
②如图2， 当P运动到边上时， 线段的长度为             ； （用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形，请说明理由；
(3)小明同学思考后发现：按以上变化，四边形不可能为菱形，除非改变其中某个动点的速度．请探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使得四边形在某一时刻为菱形，求出此时点Q的速度．

【推荐1】（1）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是　             　；
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论　      　仍然成立（填“是”或“否”）；
（3）结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
（4）能力提高：
如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为            ．

【推荐2】如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝x²＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝x²＋bx＋c交于第四象限的F点．

（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；
同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过
点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．

【推荐3】如图，在中，，点P为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点B的对应点为．

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，连接，若，且，求出的值；
(3)如图3，连接，若，是否存在点P，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由．

【推荐1】如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点．
（1）若为等腰直角三角形．
①求直线的函数解析式；
②在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点、，使 的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值．
（2）如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，有矩形AOBC，点A、B的坐标分别为（0，4）、（10，0），点P的坐标为（2，0），点M在线段AO上，点N在线段AC上，总有∠MPN=90 º，点M从点O运动到点A，当点M运动到A点时，点N与点C重合（如图2）．令AM=x
(1)直接写出点C的坐标___________；
(2)①设MN²=y，请写出y关于x的函数关系式，并求出y的最小值；
②连接AP交MN于点D，若MN⊥A P，求x的值；

(3)当点M在边AO上运动时，∠PMN的大小是否发生变化？请说明理由.

【推荐3】如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线上的一动点，轴与，交线段于，轴于，交线段于．
（1）求、两点的坐标（用，的式子表示）；
（2）当时，求的面积．
（3）当运动且线段、均与线段有交点时，探究：、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．

【推荐1】中，，．点M为上一动点，连接．

(1)如图1，过点A作交延长线于点D，，若，求的面积；
(2)如图2，将绕点C顺时针旋转得到，连接，点N为中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
(3)若，将绕点C顺时针旋转得到，连接，点M在上运动的过程中，当线段取得最小值时，请直接写出的面积．

【推荐2】已知，点为等边三角形所在平面内一点，
   
(1)如图①，点P在外，，，求证：；
(2)如图②，点P在内，，求的度数；
(3)如图③，点P在内，且，为上一点，连接，若，求证：．

【推荐3】如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，将线段绕点旋转得到线段，使点与点始终在同侧，且，连结，．设点的运动时间为（秒）．

(1)的长为______；
(2)用含的代数式表示的长；
(3)当时，求的值；
(4)当以点、、、为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的值．