【推荐1】如图，在四边形中，，，过点作于点，作于点，连接，．

(1)求证：≌；
(2)求证：垂直平分．

【推荐2】已知：如图，，分别为垂足，的垂直平分线交于点，交于点，.

求证：（1）；（2）.

【推荐3】如图，中，，是的一个外角，根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法)
（1）作的平分线.
（2）作线段的垂直平分线，与交于点，与边交于点，判断线段是否也被垂直平分，并说明理由.

【推荐2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．

【推荐3】探究：如图所示，平行四边形中，，交于点，过点的直线分别交，于，.

（1）求证：；
（2）求证：四边形与四边形的周长相等；
（3）直线是否将平行四边形的面积分成二等份？试说明理由.
应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井，如图所示，张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请帮助张大爷把地分开.
   

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别相交于点、，将直线绕坐标平面上某点旋转后，点、恰好都落在曲线的图象上，分别记作点、，求点、的坐标．

【推荐2】如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D为的中点．

(1)若，则旋转中心为点______，旋转角度为______；
(2)若，求的长．

【推荐3】综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，请直接写出的长．
   

【推荐1】如图，为直径，D为上一点，于点C，交于点E，与的延长线交于点F，平分．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求和的长．

【推荐2】如图，将置于平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，点的坐标为，．

(1)求作的外接圆圆心P，并求出P点的坐标；
(2)若⊙P与轴交于点D，求D点的坐标；
(3)若CD是⊙P的切线，求直线CD的函数解析式

【推荐3】水车是黄河沿岸一种古老的提水灌溉工具，小明和小红去参观一个黄河水车公园，发现一些和数学有关的问题．如图，是的直径，点C在上，的平分线与相交于点D，与上过点A的切线相交于点E．小红说：“一定是等腰三角形．”

(1)小红说的对吗？请说明理由．
(2)小明说：“如果米，米，就能求出的长．”请写出求解过程．