【推荐1】如图，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是____________，位置关系是____________；
(2)【探究】把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是____________．

【推荐2】在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接.

（1）如图，当 在线段上时，求证：.
（2）如图，若点在线段的延长线上，，.则、之间有怎样的数量关系？写出你的理由.
（3）如图，当点在线段上，，，求最大值.

【推荐3】如图，在梯形中，，，，，点由出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段由出发沿方向匀速运动，速度为，交于，连接．若设运动时间为．解答下列问题：

(1)当为何值时，？
(2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．
(3)如图2连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．

【推荐1】如图1，抛物线的图像与x轴交于两点.过点动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒.

(1)求抛物线的表达式；
(2)过D作交于点E，连接BE，当时，求的面积；
(3)如图2，点在抛物线上.当时，连接、、，在抛物线上是否存在点P，使得若存在，直接写出此时直线与x轴的交点Q的坐标，若不存在，请简要说明理由.

【推荐2】如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点B、．

(1)求抛物线的顶点M的坐标；
(2)点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式．

【推荐3】如图，四边形是平行四边形，是直线上的两点，点关于的对称点为，连接交于点．
   
（1）依题意补全图形；
（2）判断与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图，当时，的延长线相交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．