【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
   
(1)求直线BC的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点D，过点P作x轴的平行线交BC于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿着射线CB方向平移得到新抛物线，且新抛物线经过线段BC的中点F，新抛物线与y轴交于点M，点N为新抛物线对称轴上一点，点Q为坐标平面内一点，若以点P，Q，M，N为顶点的四边形是以PN为边的菱形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象G与直线l：y＝2x﹣4交于点A（3，a）．
（1）求k的值；
（2）已知点P（0，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，与图象G交于点B，与直线l交于点C．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段AC，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当n＝5时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点恰好为3个，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
   

【推荐1】如图1，平面直角坐标系中，直线y₁＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y₂＝﹣2x+b经过点A，已知点C（﹣1，0），直线BC与直线y₂相交于点D．
（1）请直接写出：A点坐标为     ，直线BC解析式为     ，D点坐标为     ；
（2）若线段OA在x轴上移动，且点O，A移动后的对应点为O₁、A₁，首尾顺次连接点O₁、A₁、D、B构成四边形O₁A₁DB，当四边形O₁A₁DB的周长最小时，y轴上是否存在点M，使|A₁M﹣DM|有最大值，若存在，请求出此时M的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图3，过点D作DE∥y轴，与直线AB交于点E，若Q为线段AD上一动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到直线AB上方的△D′EQ，是否存在点Q使得△D′EQ与△AEQ的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出DQ的长；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图①所示，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点．

(1)当时，点坐标为_______；点坐标为_______；直线的解析式是_______；
(2)在（1）的条件下，如图②所示，设为延长线上一点，连接，过、两点分别作于，于，若，求点的坐标；
(3)当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，问当点在轴上运动时，试猜想的面积是否改变，若不变，请求出其值；若改变，请说明理由．
(4)当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为边在第二象限作等腰直角，则动点在直线_______上运动．（直接写出直线的表达式）

【推荐3】如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动．设运动时间为x秒，△QAC的面积为y．
（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A₁B₁C₁的位置时，请你在网格中画出Rt△A₁B₁C₁关于直线QN成轴对称的图形；
（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？
（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？（说明：在（3）中，将视你解答方法的创新程度，给予1～4分的加分）

【推荐2】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是的平分线上一点，且与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且．

(1)若，求FH的长；
(2)求证：．

【推荐3】已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
（1）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示，求∠AFQ的度数；
（2）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．

【推荐2】如图1，和都是等边三角形，连接，．则，因此可得．

(1)如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请求出的值．
(2)如图3，和都是直角三角形，，且．连接，，的延长线交于点，交于点．
①求的值：
②求的值．

【推荐3】已知，，为直线上一点，为直线上一点，，设， ，

(1)如图1，若点在线段上，点在线段上，，，则        ；        ．
(2)如图2，若点在线段上，点在线段上，则，之间有什么关系式？说明理由．
(3)探究：当点在线段的延长线上，点在线段上，（或在线段的延长线上）时，是否存在不同于（2）中的，之间的关系式？ 若存在，请直接写出这个关系式．