下半学期的学习中，我们将接触到几何学上的明珠——勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
千百年来，人们对它的证明之若，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统．下面试举三例，一起领略其魅力．
(1)【验证】图
是由两个边长分别为
的直角三角形和一个两条直角边都是
的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理；
(2)【应用】如图
，
和
都是等边三角形，点
在内部，连接
．若
，
，
，求
的长；
(3)【提升】如图
，将等边沿
翻折得到
，连结交于点
，点
在
上且
，
，点
是
内的一个动点，连结
，求
的最小值．
千百年来，人们对它的证明之若，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统．下面试举三例，一起领略其魅力．
(1)【验证】图
是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理；(2)【应用】如图
，和都是等边三角形，点在内部，连接．若，，，求的长；(3)【提升】如图
，将等边沿翻折得到，连结交于点，点在上且，，点是内的一个动点，连结，求的最小值．
更新时间：2023-11-28 14:11:29
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(0.4)
【推荐1】如图，在正方形
中，点、
分别在边
、
上，
与
相交于点
，且
．
（1）如图1，求证：
．
图1
（2）如图2，与相交于点，交于点，交于点
，连接
，试探究直线与的位置关系，并说明理由．
图2
（3）在（1）（2）的基础上，若平分
，且
的面积为
，求正方形的面积．
中，点、分别在边、上，与相交于点，且．（1）如图1，求证：
．图1
（2）如图2，
与相交于点，交于点，交于点，连接，试探究直线与的位置关系，并说明理由．图2
（3）在（1）（2）的基础上，若
平分，且的面积为，求正方形的面积．
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(0.4)
名校
【推荐2】如图，
中，
，
，点D在上运动（不能经过B、C），过D作
，交于E．
(1)证明
；
(2)设
，
，求y与x的函数关系，并写出其自变量取值范围；
(3)若三角形
恰为等腰三角形，请直接写出
的长，不必说明理由．
中，，，点D在上运动（不能经过B、C），过D作，交于E．(1)证明
；(2)设
，，求y与x的函数关系，并写出其自变量取值范围；(3)若三角形
恰为等腰三角形，请直接写出的长，不必说明理由．
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，求 P 点坐标； 
的值
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(0.4)
【推荐1】数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点
是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为
、
，的边上的高为
．回答以下问题：
(1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程．
(2)如图（2），当点在内，已知
，求
的值．
(3)如图（3），当点在外，请直接写出与、
、的数量关系，不用证明．
，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题： (1)如图（1），若点
在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程．(2)如图（2），当点
在内，已知，求的值．(3)如图（3），当点
在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明．
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(0.4)
【推荐2】定义：有个内角为
，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，准矩形ABCD中．
，若
，
，则
_____；
（2）如图2，直角坐标系中，
，
，若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是______；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）
（3）已知，准矩形ABCD中，，
，，当为等腰三角形时，请求出这个准矩形的面积．
，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中．
，若，，则_____；（2）如图2，直角坐标系中，
，，若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是______；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（3）已知，准矩形ABCD中，
，，，当为等腰三角形时，请求出这个准矩形的面积．
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(0.4)
【推荐3】小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空．
【阅读定义】如图1，内有一点P，满足
，那么点P称为的“布洛卡点”，其中
、
、
被称为“布洛卡角”．如图2，当
时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．
问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度；
问题2：在等腰三角形
中，已知
，点M是的一个“布洛卡点”，
是“布洛卡角”．
（1）
与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．
（2）当（如图4所示），
时，求点C到直线
的距离．
【阅读定义】如图1，
内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．
问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度；
问题2：在等腰三角形
中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”．（1）
与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．（2）当
（如图4所示），时，求点C到直线的距离．
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(0.4)
【推荐1】如图，在正方形ABCD中，E是射线CD上一动点（E不与D重合），连AE交射线BD于F点，过F作FG⊥AE交在射线BC于G．
(1)当点E在线段CD上时，求证：AF＝FG．
(2)若BC＝10，BG＝4，求BF的长；
(3)连EG，当E在射线CD上移动时，探究线段BG、EG、DE之间的数量关系，并说明理由．
(1)当点E在线段CD上时，求证：AF＝FG．
(2)若BC＝10，BG＝4，求BF的长；
(3)连EG，当E在射线CD上移动时，探究线段BG、EG、DE之间的数量关系，并说明理由．
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【推荐2】在
中，是的直径，弦
与交于点E，且
，点F是弧
的中点，连接、
，与交于点M．
；
(2)如图2，连接
，过点O作
交于点G，连接
，交于点N，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，若
，
，求
的长．
中，是的直径，弦与交于点E，且，点F是弧的中点，连接、，与交于点M．
；(2)如图2，连接
，过点O作交于点G，连接，交于点N，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若
，，求的长．
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，E为AC上的一动点，连接DE，并以DE为边构造等边三角形DEF，连接BF，试解答下列问题：
，
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(0.4)
【推荐1】如图1：在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接
，．
(1)求证：
；
(2)直接写出线段，，之间满足的等量关系；
(3)如图2，在中，，D为外的一点，且
，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
(4)如图3，已知是的直径，点C，D是上的点，且．填空：
①若
，
，则弦的长为 ；
②若
，则当
的值最大时，的半径为 ．
中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：
；(2)直接写出线段
，，之间满足的等量关系；(3)如图2，在
中，，D为外的一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；(4)如图3，已知
是的直径，点C，D是上的点，且．填空：①若
，，则弦的长为 ；②若
，则当的值最大时，的半径为 ．
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(0.4)
名校
【推荐2】如图①，和均为等边三角形、连接，
．
(1)直接写出与的数量关系为________________；直线与所夹锐角为______________度；
(2)将绕点A逆时针旋转至如图②，取，的中点M，N，连接
，试问：
的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；
(3)若
，
，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，直接写出
的面积为_______________．
和均为等边三角形、连接，．(1)直接写出
与的数量关系为________________；直线与所夹锐角为______________度；(2)将
绕点A逆时针旋转至如图②，取，的中点M，N，连接，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；(3)若
，，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，直接写出的面积为_______________．
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中，点D、E分别在边
上， 
，连接
；
，分别交
与
的大小并证明；
，若
，求
的度数．
