【推荐1】如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)写出数轴上点B表示的数________；点P表示的数________．（用含t的代数式表示）
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？
(3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q．
(4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长．

【推荐2】【背景知识】
数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为．
【知识运用】
（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______．
【拓展迁移】
（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点．
①点表示的数是______（用含的代数式表示）；
②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间；
③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，．

(1)若F为CB的中点，且求EF的长；
(2)若，求AB的长．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知轴交轴于点的延长线与的延长线交于点与交于点．

(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)若，求的度数．

【推荐2】请仅用无刻度直尺完成以下作图：
   
(1)如图1，在平行四边形中，点是上一点，在上找一点，使得．
(2)如图2，如图，在中，，于，为上任意一点，在上找一点，使得．

【推荐3】在学习完第十二章后，刘老师让同学们独立完成识本56页第9题：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
（1）请你也独立完成这道题；
（2）待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【推荐1】如图，，，，，为的垂直平分线，，，

(1)求证：；
(2)求．

【推荐2】如图，已知等边的边长为4，点D、E分别是、的中点，过点D作，交的延长线于点F，求的长．

【推荐3】如图，5G时代，万物互联，互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活，某移动公司为了提升网络信号，在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，信号塔顶端P的影子落在警示牌上的点E处，且，．

   

(1)______m，______°；
(2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，）

【推荐1】如图，四边形的对角线，交于点，、是上两点，，，.

（1）求证：四边形是平行四边形.（2）当平分时，求证：.

【推荐3】已知如图，在菱形中，对角线相交于点O，，.

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．